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2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质教学设计
课题 2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 会画二次函数和的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线的图象的关系，理解对二次函数图象的影响.
重点 二次函数的图象与性质.
难点 二次函数图象与图象之间的关系，对二次函数图象的影响.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？ 2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？ 回顾旧知，回答，从形状、开口、对称轴、顶点几个方面回顾思考、回答 回顾二次函数定义探索图象的基础，进而根据解析式引导本节课的探索思路。
讲授新课 1.画二次函数y=2x2,y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象. (1)列出下表. (2)在下图中画出y=2x2,y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象. y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 y=2(x+1)2的呢 总结：二次函数y=a（x-h)2 的特点 a＞0时，开口 , 最____ 点是顶点; a＜0时，开口 , 最____ 点是顶点; 对称轴是 ，顶点坐标是 . 3、结合图象，议一议 交流：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随值的增大而增大？当取哪些值时，的值随值的增大而减小？ 4、结论:将的图象向 平移 个单位就得到的图象. 5、猜一猜：的图象是怎么样的？它的图象与的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！ 猜测：将的图象向 平移 个单位就得到的图象. 结论：二次函数、、的图象都是 ，并且形状 ，只是位置不同.将的图象向 平移 单位,就得到的图象; 将的图象向 平移 单位,就得到的图象. 探究二：的图象和性质 1、小组活动： （1）合情推理：由二次函数的图象，你能得到，，的图象吗？你是怎么样得到的？ 将的图象向 平移 单位,就得到的图象； 将的图象向 平移 单位,就得到的图象； 将的图象先向 平移 单位, 再向 平移 单位,就得到的图象. （2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化. （3）议一议：二次函数的图象与有什么关系？ 2、总结规律,填写表格: (1) 的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线 。 (3)顶点坐标是 。 学生动脑，动手操作，画出二次函数图象 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法 同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 学生通过动手画函数，对前面的知识进行巩固，也能做比较，培养学生观察总结的能力。 教师要关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决问题的意识. 通过本环节的设计，培养学生开动脑筋, 敢于说出自己的见解和猜想，团结合作、讨论交流、形成共识、领悟开窍、再加上教师的及时鼓励，激励信心，从而使学生学习兴趣更浓。
课堂练习 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( ) 2.已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－32 3.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____. 4.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小. 5.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？ 6.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 7.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.画二次函数y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象.探究二： 的图象和性质 学 生 活 动 区
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2.2.3二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
北师大版 九年级下册
复习旧知
1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？
2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？
抛物线
分a＞0和a＜0两种情况
新知讲解
画二次函数y=2x2，y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象.
(1)列出下表.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = 2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32
y=2(x-1)2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
y=2(x+1)2 18 8 2 0 2 8 18 32 50
新知讲解
(2)在下图中画出y=2x2， y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
y=2x2
y=2(x-1)2
y=2(x+1)2
y=2(x+1)2的呢
y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
开口方向向上，对称轴x=1，顶点坐标(1，0)
开口方向向上，对称轴x=-1，顶点坐标(-1，0)
总结
a＞0时，开口 , 最____ 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最____ 点是顶点;
对称轴是 ，
顶点坐标是 .
向上
低
向下
高
直线 x = h
( h,0 )
二次函数y=a（x-h)2 的特点
归纳
二次函数y = a(x-h)2的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
x=h时，y最大值=0
（h,0）
例题解析
例1 画出二次函数y=的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－4.5
0
x
y
想一想
抛物线y=与抛物线y=- 有什么关系？
向右平移
1个单位
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
归纳
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
想一想
由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
y=2x2
y=2x2-
y=2(x+3)2-
y=2(x+3)2
新知讲解
y=2x2-的图象：由y=2x2的图象向下平移个单位得到.
y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到.
y=2(x+3)2- 的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移个单位得到（也可由y=2x2的图象向下平移个单位，再向左平移3个单位得到）.
归纳总结
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
练一练
（1） 填空：二次函数y=-(x+3)2+2的开口方向是_____，对称轴是________，顶点坐标是_______；当x____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y最大值=____.
（2）此抛物线怎样由抛物线y=-x2平移得到？
向下
＜-3
=-3
2
直线x=-3
由抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位或先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到.
（-3，2）
归纳总结
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
课堂练习
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
2.已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )
A．－12 B．12 C．32 D．－32
B
D
课堂练习
3.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____.
4.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小.
5.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？
2
4
＞-1
由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.
课堂练习
6.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象是由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
y
O
x
y = 2x2
2
课堂练习
7.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2) 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
作业布置
1.课本习题2.4第2、3题
2.如果一条抛物线的形状与y=+2形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
课堂小结
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是(h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
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