双曲线与抛物线简单练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 双曲线与抛物线简单练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-25 21:47:07 | ||
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文档简介
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双曲线与抛物线
1．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
设双曲线的半焦距为，
由题意，双曲线的离心率为，则，即，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
2．双曲线的焦距等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
在双曲线中，，，
∴，即焦距为，
3．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
4．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．4或1 C．3 D．4
【答案】D
【详解】显然，又，解得．
5．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】
双曲线的标准方程为，则，，
故双曲线的渐近线方程为.
6．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离等于（ ）．
A．15 B．16 C．15或17 D．17
【答案】D【详解】
，所以有，
设两个焦点为，设，由双曲线的定义可知：，
所以或（舍去），
7．已知点在双曲线的渐近线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】双曲线的渐近线方程为：，
因为点在第一象限，所以点在这条渐近线上，
代入得：，解得.
8．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B【详解】
当时，，，所以，
当时，，，，，所以．
9．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
抛物线的标准方程是，，，
焦点为坐标为．
10．曲线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B【详解】
因为到焦点的距离为，所以到抛物线准线的距离为，
所以点到轴的距离为.
11．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
12．（多选题）已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】BD【详解】
∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
13．双曲线的焦距为____________
【答案】【详解】因为双曲线方程为，所以，.
双曲线的焦距为.
14．在下列条件下求双曲线标准方程.
（1）经过两点，；
（2）焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由于双曲线过点，则该双曲线的焦点在轴上，
设双曲线标准方程为，
由题意可得，解得，
因此，所求双曲线的标准方程为；
（2）由双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，则，所以，双曲线的标准为，
将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得，
因此，所求双曲线的标准方程为.
15．求适合下列条件的曲线标准方程.
（1）虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；
（2）过点的抛物线的标准方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【详解】（1）设双曲线的实轴长为，焦距为，则，
双曲线的虚轴长为，可得，
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.
综上所述，所求双曲线的标准方程为或；
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
16．求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程
【答案】
【详解】因为双曲线的标准方程为，所以其焦点在x轴，且有，所以焦点坐标为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.
17．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为.
（1）求的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.
【答案】（1）；（2）顶点坐标；渐近线方程
【详解】（1）焦距为
（2）由（1）知，双曲线方程为：，即，
双曲线顶点坐标为，渐近线方程为：
18．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.
【答案】（1）；（2）.【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，
由得所以，
所以.
(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．
(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．
19．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）的准线过
故，则抛物线方程为
（2）设切线方程为与抛物线方程联立有
故故直线l的方程为：或
20．已知抛物线的准线方程为.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.
【详解】（Ⅰ）依已知得，所以；
（Ⅱ）设，，由消去，得，
则，，
所以
.
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双曲线与抛物线
1．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
设双曲线的半焦距为，
由题意，双曲线的离心率为，则，即，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
2．双曲线的焦距等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
在双曲线中，，，
∴，即焦距为，
3．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
4．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．4或1 C．3 D．4
【答案】D
【详解】显然，又，解得．
5．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】
双曲线的标准方程为，则，，
故双曲线的渐近线方程为.
6．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离等于（ ）．
A．15 B．16 C．15或17 D．17
【答案】D【详解】
，所以有，
设两个焦点为，设，由双曲线的定义可知：，
所以或（舍去），
7．已知点在双曲线的渐近线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】双曲线的渐近线方程为：，
因为点在第一象限，所以点在这条渐近线上，
代入得：，解得.
8．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B【详解】
当时，，，所以，
当时，，，，，所以．
9．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
抛物线的标准方程是，，，
焦点为坐标为．
10．曲线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B【详解】
因为到焦点的距离为，所以到抛物线准线的距离为，
所以点到轴的距离为.
11．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
12．（多选题）已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】BD【详解】
∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
13．双曲线的焦距为____________
【答案】【详解】因为双曲线方程为，所以，.
双曲线的焦距为.
14．在下列条件下求双曲线标准方程.
（1）经过两点，；
（2）焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由于双曲线过点，则该双曲线的焦点在轴上，
设双曲线标准方程为，
由题意可得，解得，
因此，所求双曲线的标准方程为；
（2）由双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，则，所以，双曲线的标准为，
将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得，
因此，所求双曲线的标准方程为.
15．求适合下列条件的曲线标准方程.
（1）虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；
（2）过点的抛物线的标准方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【详解】（1）设双曲线的实轴长为，焦距为，则，
双曲线的虚轴长为，可得，
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.
综上所述，所求双曲线的标准方程为或；
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
16．求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程
【答案】
【详解】因为双曲线的标准方程为，所以其焦点在x轴，且有，所以焦点坐标为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.
17．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为.
（1）求的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.
【答案】（1）；（2）顶点坐标；渐近线方程
【详解】（1）焦距为
（2）由（1）知，双曲线方程为：，即，
双曲线顶点坐标为，渐近线方程为：
18．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.
【答案】（1）；（2）.【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，
由得所以，
所以.
(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．
(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．
19．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）的准线过
故，则抛物线方程为
（2）设切线方程为与抛物线方程联立有
故故直线l的方程为：或
20．已知抛物线的准线方程为.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.
【详解】（Ⅰ）依已知得，所以；
（Ⅱ）设，，由消去，得，
则，，
所以
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