1.2　空间向量基本定理 同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

1.2　空间向量基本定理
基础巩固
1.(多选题)下列关于空间基底的说法,正确的是(　　)
A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面
B.若三个向量a,b,c不共面,则{a,b,c}可以构成空间的一个基底
C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R,λμ≠0),则{a,b,c}可以构成空间的一个基底
D.若向量{a,b,c}构成空间的一个基底,则向量{a,2b,a-b}也能构成空间的一个基底
2.在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则为(　　)
A.a-b+c B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别为AB,A1C1的中点,则EF的长为(　　)
A.2 B. C. D.
4.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x=　　　　　,y=　　　　　.
5.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是　　　　　.
6.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:CE⊥A'D;
(2)求CE与AC'所成角的余弦值.
能力提升
1.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)
A. B.
C. D.
2.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)
A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可作为空间的基底
B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N四点共面
D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
3.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC(PA,PB,PC不在同一平面内),在PA,PB,PC上分别取=a,=b,=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则=　　　　　.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用作为基向量,则=　.
5.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是　　　　　.
6.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求异面直线DM和AO所成角的大小.
参考答案
基础巩固
1. AB
2. B
3. C
4. 2　-2
5. 60°
6.
(1)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底.
根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.
∵=b+c,=-c+b-a,
∴=-c2+b2=0.
∴,即CE⊥A'D.
(2)解:∵=-a+c,=b+c,|a|=|b|=|c|,
∴||=|a|,||=|a|,
又=(-a+c)·c2=|a|2,
∴cos<>=.
故CE与AC'所成角的余弦值为.
能力提升
1. A
2. ABCD
3. -a+b+c
4.)
5.90°
6.
(1)证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则a·b=b·c=a·c,|a|=|b|=|c|=1.
因为(a+b+c),(b+c-5a),(a+c-5b),(a+b-5c).
所以(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=×(18×1×1×cos60°-9)=0,所以,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)解:=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),则||=.
||=.
因为(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,所以cos<>=.
又0≤<>≤π,所以<>=.
故异面直线DM和AO所成角的大小为.