4.5函数的应用重要考点归纳总结练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

高一函数应用重要考点归纳总结
考点一：求函数零点
1．二次函数的零点是（ ）
A．， B．，1
C．， D．，
2．函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数＝a＋log2x，且＝1，则函数的零点为________．
4．函数的零点为___________.
考点二：求函数零点所在区间
5．用二分法求方程的近似解时，可以取的初始区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（5，6）
6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）已知函数f(x)的图象连续不间断，x，f(x)的对应值如下表：
x 1 2 3 4 5
f(x) 136 15 -3 10 -52
则含有函数f(x)的零点的区间有（ ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
8．已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，函数的零点在区间中，则的值是______.
考点三：求函数零点个数
10．函数的零点的个数为______．
11．设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．函数的零点有______个．
13．（多选题）定义域和值域均为（常数）的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解
14．设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为______．
16．已知定义在上的函数和都是偶函数，当时，，则函数在上的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
17．已知，关于的方程的实根个数不可能为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点四：根据函数零点个数求参或取值范围
18．关于x的方程有三个不等的实数解，则实数a的值是______．
19．已知函数，如果关于的方程有两个不同的实根，那么实数的取值范围是________.
20．（多选题）关于的方程的实数根情况，下列说法正确的有（ ）
A．当时，方程有两个不等的实数根
B．当时，方程没有实数根
C．，方程有且只有三个不等的实数根
D．，方程没有4个不等实数根
21．设函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数，．
（1）______．
（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______．
25．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
考点五：用二分法求函数零点的近似值
26．关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（ ）
A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值
B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值
27．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
28．用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
29．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
30．下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A．B．C．D．
31．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
考点六：零点分布求参数范围
32．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．如果关于x的方程的两个实根一个小于，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．关于的方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
35．若关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点七：根据零点比较大小和求零点的和
36．已知实数满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
37．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
39．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
40．正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
41．定义在R上的奇函数满足，且在[0,1上单调递减，若方程在[0,1上有实数根，则方程在区间[-1,7]上所有实根之和是（ ）
A．12 B．14 C．6 D．7
42．已知函数的零点分别为a，b，则（ ）
A．a+b=-1 B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=2
43．已知实数满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
考点八：综合应用
44．已知二次函数，．
（1）当时，求二次函数的零点；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若对一切实数都成立，求的取值范围．
45．已知函数是幂函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围；
（3）解关于的不等式：
46．已知函数且，为定义在上的奇函数，且，
①求的解析式
②若函数有零点，求的取值范围
③若在上恒成立，求的取值范围．
47．已知函数．
（1）不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
参考答案
1．A【详解】
解：二次函数的零点就是的解，解得，或，故选：A．
2．B【详解】
解：依题意令，即，所以，解得或
故函数的零点是和故选：B
3．【详解】
依题意，a＋log2a＝1，即log2a＝1－a，易知a＝1，∴＝1＋log2x，令＝0，可得.
故答案为：
4．【详解】由题意，令
则
令故（舍负）故答案为：
5．C【详解】
令，易知在上单调递增.
，，
，所以方程在区间（2，3）内有解，
所以可取的初始区间为（2，3）.故选：C.
6．B【详解】
因为在上单调递增，且，
，根据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为，
故选：B
7．BCD【详解】
由表格中数据知，，，，，
而函数f(x)的图象连续不间断，则由函数零点存在性的判定定理得：含有函数f(x)的零点的区间有(2，3)，(3，4)，(4，5).故选：BCD
8．B【详解】∵，，
由得，，∴，函数为增函数，
当时，，又，
故的零点所在的区间是.故选：B
9．【详解】解：因为函数在R上单调递增，又，，
所以函数存在唯一的零点在区间中，
又函数的零点在区间中，所以，故答案为：.
10．1【详解】
根据题意，令，则，
做出函数与的图象，由图可知与的图象只有一个交点，即方程只有一个解，故函数的零点的个数为1.
故答案为：1.
11．B【详解】
由函数解析式
由图可知，函数的零点的个数为2个．故选：．
12．2【详解】
解：的零点的个数即的根的个数，
即为与 图象交点的个数，
画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数的零点有2个．
故答案为：2.
13．AD【详解】
对于A中，设，则由，即，
由图象知方程有三个不同的解，
由于是减函数，方程有且仅有一个解，
所以有三个解，A正确；
对于B中，设，则由，即，
由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，
方程只有1个解，所以B不正确；
对于C中，设，若，即，
方程有3个不同的解，设其解为，，，
则或或，
所以共有7个解， C错误；
对于D中，设，若，即，
由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，
因为是减函数，所以方程只有1解，所以D正确.
故选：AD
14．C【详解】
函数的图象如图所示，
由，得，
令，则，
当时，，得，
当时，，则，
所以当时，，由图象可知方程有两个实根，
当 时，，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程有3个实根，
所以函数的零点个数为3，故选：C
15．10【详解】
函数的零点即方程的根，亦即或的根，
画出函数y=f(x)的图象和直线，如图所示，
观察图象得：函数y=f(x)的图象与x轴，直线各有5个交点，则方程有5个根，方程也有5个根，所以函数的零点有10个.故答案为：10
16．D【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，即.又因为函数为偶函数，所以，即，
所以函数的周期为.
因为当时，，
所以，，在上单调递增.
作出函数与函数 的图象如图所示.由图可得，交点共有个，
故函数的零点个数为.
故选:D.
17．D【详解】
由程可知，或，
则当时，所求方程的根的个数为的图像与和的交点个数之和，
当，所求方程的根的个数为的图像与的交点个数，
由题意可知，的图像如下：
由图像可知，的图像与由1个交点，
①当时，则原方程只有1个根；
②当时，则的图像与的交,点个数可能是0、1、2，
从而原方程的根的个数可能为1、2、3，综上所述，原方程的根的个数可能为1、2、3.
故选：D.
18．1【详解】
关于的方程有三个不相等的实数解，
即直线与函数的图象有三个不同的交点，
作图如下：
由图易知，.故答案为：1.
19．【详解】作函数与的图象如图，
∵，∴结合图象可知，；故答案为：.
20．ABC【详解】由可得，
则方程的实数根情况等价于和的图象交点情况，画出函数图象如下：
观察图象可得当时，与有两个不同的交点，故方程有两个不等的实数根，故A正确；
当时，与没有交点，故方程没有实数根，故B正确；
存在时，与有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数根，故C正确；
当时，与有四个不同的交点，故方程有四个不等的实数根，故D错误.
故选：ABC.
21．D【详解】函数图像如图：
，且 故选：D
22．B【详解】
作出的图象如下图：
可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得．故选：．
23．B【详解】
解：因为，函数图象如下所示：
要使关于的方程有4个不同的实数根，即有4个不同的实数根，
令，，，
则或或，
因为方程必有一正一负两个根，所以，
且，，所以，
所以，
函数在上单调递增，当时，，
所以，即
故选：B
24．-2 【详解】
(1)依题意，，则，
所以；
(2)函数的值域是，令，则方程在有两个不等实根，
方程化为，因此，方程有4个实数根，等价于方程在有两个不等实根，
即函数的图象与直线有两个不同的公共点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，而，如图，
观察图象得，当时，函数与直线有两个不同公共点，
所以实数的取值范围是.故答案为：-2；
25．．【详解】
函数的零点即为方程的解，也即的解，
令，则原方程的解变为方程组的解，
作出函数和直线的图象如图所示．
由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；
当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．
由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，
作出函数和直线的图象如图所示，
由图可知当时满足要求，综上，实数a的取值范围为．故答案为：
26．D【详解】
解：根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误；
对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错误；
对于C选项，二分法求函数零点与函数零点个数没有关系，故C选项错误；
对于D选项，一个单调函数如果有零点，则满足零点的存在性定理，可以用二分法求解，故D选项正确.
故选：D
27．C【详解】
因为第一次所取的区间是，
所以第二次所取的区间可能是，
则第三次所取的区间可能是，故选：C
28．C【详解】
解：开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
∵用二分法求函数在区间内零点的近似值，
要求误差不超过0.01，
∴，解得：， 所需二分区间的次数最少为7.故选：C．
29．C【详解】
解：根据二分法，结合表中数据，由于，，
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选：C
30．A【详解】
根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：
函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，
据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，故选：A.
31．C【详解】
解：开区间的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n此操作后，区间长度变为，故有，解得：，
∴至少需要操作4次.故选：C.
32．D【详解】
设，则二次函数的两个零点都在区间内，
由题意，解得.
因此，实数的取值范围是.故选:D.
33．D【详解】
解：设，
由二次函数的图象性质知，，即
解得，即故选：D.
34．B【详解】
设，所以有两个大于的不等实数根，
则，
解得.
所以实数的取值范围是.故选：B
35．D【详解】
设，易知函数在R上单调递增，于是在上有两个不相等实数根，
而，如图所示：
所以时，关于的方程有两个不相等实数根.故选：D.
36．D【详解】
因为，
所以，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：，故选：D
37．B【详解】
分别令，，，则，，，
则分别为，，与交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中作出图象如下图所示，
由图象可知：.故选：B.
38．B【详解】
依题意可知分别是函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系中分别作出以上函数图象，由图可知，.
故选：B.
39．B【详解】
解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，综上，，故选：B
40．A【详解】
，
即为函数与的图象交点的横坐标，
，
即为函数与的图象交点的横坐标，
，
即为函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系中画出图象，如图所示：
由图象可知：.故选：A.
41．A【详解】
由题设，，又为奇函数，
∴，即，
∴是周期为4的奇函数且关于对称，
又在[0,1上单调递减，则[-1,0上递减，(1,2、(2,3上递增，
∴由周期性知：(3,4、[4,5上递减，(5,6、(6,7上递增，
∵在[0,1上有实数根，则在[-1,0上有实数根，
∴综上，结合对称性知：在[-1,0 、(2,3、(3,4、(6,7各 有一个实数根，且关于对称，
∴在区间[-1,7]上所有实根之和为12.
故选：A
42．A【详解】
由已知得的图象与直线y=-x-1的交点横坐标分别为a，b，又的图象关于直线y=x对称，且y=-x-1与y=x交点横坐标为，故a+b=-1.
故选：A.
43．C【详解】
解：由，则，
由，则，即，
则，，
，令，则方程的解即为函数与交点的横坐标，
方程，即关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，
因为与互为反函数，则它们关于对称，
则函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，
作出函数图像，如图所示：
联立，解得，即，所以，即.
故选：C.
44．（1）和（2）答案见解析；（3）
（1）解：因为，当时，令，即，解得或，即函数的零点为和；
（2）
解：依题意，即，
当时，解得或；
当时，即，解得；
当时，解得或；
综上可得，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
（3）
解：因为对一切实数都成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即
（1）（2）（3）答案不唯一，具体见解析
（1）因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）
由（1）得，
若，则，即．
令，在上是增函数，
，，即，
的取值范围是．
（3）
，∴当即时，解集为；
当即时，解集为；
当或即，此时两根分别为，，显然，∴不等式的解集为．
46．（1）；（2）；（3）．
【详解】
（1）是奇函数，则，，是奇函数，
，（负值舍去），
所以；
（2）由题意有解，，
因为，所以，
所以的取值范围是；
（3）时，，，所以，是增函数，
又是奇函数，不等式先化为
，即，
而，所以，
，显然，是偶函数，
设，则，
，所以在上是增函数，在上是减函数，
所以，
所以．即的取值范围是．
47．（1）；（2）．
【详解】
解：（1）设，不等式可化为：
问题等价于在时恒成立；
即：＝在时恒成立，而此时
所以
（2）令，作出函数的图象，如图，由图象知时，有两解，时，有一解．
方程有三个不同的实数解
关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1；
可化为：
化简得：，
若方程有一根为1，则，此时方程为，方程有两个相等实根1，不合一时间，
因此它的两根分别介于和，
只要，∴为所求的范围．