1.4.2 用空间向量研究距离问题 同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

　用空间向量研究距离问题
基础巩固
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为(　　)
A.a B. C. D.
2.在三棱锥O-ABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.若OA=1,OB=2,OC=2,则点A到直线BC的距离为(　　)
A. B. C. D.3
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
4.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=　　　　　.
5.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离是　　　　　.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别为AB,CC1的中点,则点D到直线GF的距离为　　　　　.
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面A1BC1的距离.
能力提升
1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为(　　)
A. B.
C. D.1
2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4,且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E为O1A的中点,则点E到平面O1BC的距离为(　　)
A.2 B.1 C. D.3
3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,将△BCE沿BE折起成△BC1E,且使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD,则点C1到直线AB的距离为　　　　　.
4.在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,则点B到平面OCD的距离为　　　　　.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=1.在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为 若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
参考答案
基础巩固
1. D
2. B
3. D
4. 2
5.
6.
7.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),所以=(-4,6,0),=(0,6,-3),=(0,6,0).
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=3,则y=2,z=4.
所以n=(3,2,4)为平面A1BC1的一个法向量.
所以点B1到平面A1BC1的距离d=.
能力提升
1. A
2. C
3. 2
4.
5.
解:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以=(1,1,-2),=(0,2,-2).
假设线段PA上存在点M满足题意,设M(0,0,z0),0≤z0≤2,平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则
即
所以
取z=1,则x=1,y=1.
所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.
又=(0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=(2-z0).
由(2-z0)=,可得z0=1.
所以点M的坐标为(0,0,1),此时M为线段PA的中点.
故当M为线段PA的中点时,点M到平面PCD的距离为.