1.4.1 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

　用空间向量研究直线、平面的垂直关系
基础巩固
1.已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于(　　)
A.-2 B.2 C.6 D.10
2.已知平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若α⊥β,则x的值为(　　)
A.10 B.-10 C. D.-
3.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(　　)
A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)
4.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是(　　)
A.直线A1D与AB1垂直
B.直线A1D与BC1垂直
C.直线A1D与BD1平行
D.三棱锥A-A1CD的体积为a3
5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和Q(cos x,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与OQ垂直,则x的值为　　　　　.
6.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　　　　　　　　　.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:PE⊥AF.
能力提升
1.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列结论正确的是(　　)
A.AP⊥AB B.AP⊥AD
C.平面PAC⊥平面ABCD D.PB⊥PD
2.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,的值为(　　)
A. B.1 C.3 D.2
3.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值为　　　　　.
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PD⊥底面ABCD,且PD=DA=CD=2AB=2,点M为PC的中点.若平面PAD内的一点N满足MN⊥平面PBD,则MN的长为　　　　　.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.
参考答案
基础巩固
1. D
2. B
3. C
4. BD
5.
6.
7.
证明:如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,1),F(0,),所以=(0,).
依题意,设E(x,1,0),0≤x≤,则=(x,1,-1).
因为=0+=0,所以PE⊥AF.
能力提升
1. ABC
2. B
3. 2
4.
5.
(1)证明:如图,以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设AD=2,则D(0,0,0),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),所以=(0,2,0),=(-1,0,1).
所以=0.
所以,即EF⊥CD.
(2)解:因为P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(-2,0,0).
设平面PCB的法向量为n=(x,y,z),
则
取y=1,则z=1,于是n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量.
因为点G在平面PAD内,所以可设G(a,0,b),所以=(1-a,1,1-b).
要使GF⊥平面PCB,只需∥n,即需1-a=0,1-b=1,解得a=1,b=0.
所以点G的坐标为(1,0,0),即G为AD的中点.