青岛版数学九年级上册 4.6一元二次方程根与系数的关系课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
4.6一元二次方程根与系数的关系
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
学习目标
复习引入
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
2.如何用判别式b2 - 4ac来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
导入新课
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2 x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
x1+x2=5
x1 · x2=6
讲授新课
探索一元二次方程的根与系数的关系
知识点1
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
猜一猜
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么，你可以发现什么结论？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
归纳总结
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
知识点2
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= , (2)x1·x2= ,
(3) ,
(4) .
4
1
14
12
练一练
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
归纳
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
1
-2
-3
随堂练习
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
∴x1 =
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
拓展提升
由根与系数的关系，得
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根，
∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1,x2，
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解．
根与系数的关系（韦达定理）
内 容
如果一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么
应 用
课堂小结