(共25张PPT)
2.2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
北师大版 九年级下册
复习旧知
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y=2(x－1)2 －3
(2)y=－0.5(x+3)2
(3) y = 3(x+2)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？
新知讲解
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗
化成y=a(x-h)2+k的形式.
怎样将y=2化成y=a(x-h)2+k的形式？
新知讲解
y=2
y=2(x2－2x)+5
y=2(x2－2x+1)－2+5
y=2(x－1)2+3
想一想：配方的方法及步骤是什么？
总结
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
y=2x2－4x+5
y=2(x－1)2+3
新知讲解
你能说出y=2(x－1)2+3的对称轴及顶点坐标吗？
对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1，3）.
二次函数y=2(x－1)2+3可以看作是由y=2怎样平移得到的？
平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移1个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的.
新知讲解
如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？
…
…
…
…
4
3
2
1
0
-1
-2
x
解: 先利用图形的对称性列表
21
11
5
3
5
11
21
0
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
典例精析
结合二次函数y=2(x－1)2+3的图象，说出其增减性.
当x<1时，y随x的增大而减小；
当x>1时，y随x的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和性质吗？
典例精析
例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解: y=2x2－8x+7
y=2(x2－4x)+7
y=2(x2－4x+4)－8+7
y=2(x－2)2－1
∴对称轴是x=2,顶点坐标为(2,-1)
练一练
解：（1）y=3x2-6x+7
=3(x-1)2+4.
对称轴：
直线x=1
顶点坐标：
（1，4）
（2） y=2x2-12x+8
=2(x-3)2-10.
对称轴：
直线x=3
顶点坐标：
（3，-10）
求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.
典例精析
解：y=ax +bx+c
例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.
∴对称轴是x=-,顶点坐标为()
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
x
y
O
当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大；
当x=时，函数达到最小值，
最小值为.
x
y
O
当x<时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为.
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,1)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
( ,-6)
直线x=
想一想
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y=表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
想一想
解：（1）∵y=x2+x+10
= (x+20)2+1.
∴左侧钢缆最低点坐标为（-20，1），
∴钢缆最低点到桥面的距离是1m.
想一想
（2）∵左、右两侧抛物线关于y轴对称，
∴左、右两侧抛物线的最低点关于y轴对称.
∵左侧抛物线最低点坐标为（-20，1），
∴右侧抛物线最低点坐标为（20，1）.
∴两条钢缆最低点之间的距离是40m.
课堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( )
A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
2.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
D
A
课堂练习
3. 点P1（-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1 ，y2，y3的大小关系是 .
4.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= , x=2对应的函数值y= .
-8
1
课堂练习
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
课堂练习
6．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
解：(1)将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
（2）由题知，m＝－，n＝，∴b＝－2m.
又由(1)知c＝2b，∴n＝.
∴n＝－m2－4m.
作业布置
1.课本习题2.5第1、3题
2.如果一条抛物线的形状与y=+2形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
课堂小结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
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2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质教学设计
课题 2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象． 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
重点 用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点.
难点 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－1)2 －3 (2)y=－0.5(x+3)2 (3) y = 3(x+2)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？ 回顾旧知，回答 从开口、对称轴、顶点几个方面回顾 思考、回答 温故知新，激发学生好学的兴趣。
讲授新课 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗 化成y=a(x-h)2+k的形式. 怎样将y=2化成y=a(x-h)2+k的形式 想一想：配方的方法及步骤是什么？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 你能说出y=2(x－1)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1，3）. 二次函数y=2(x－1)2+3可以看作是由y=2 ^ 怎样平移得到的？ 平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？ 解: 先利用图形的对称性列表 然后描点画图，得到图象 结合二次函数y=2(x－1)2+3的图象，说出其增减性. 当x<1时，y随x的增大而减小； 当x>1时，y随x的增大而增大. 例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解: y=2x2－8x+7 y=2(x2－4x)+7 y=2(x2－4x+4)－8+7 y=2(x－2)2－1 ∴对称轴是x=2,顶点坐标为(2,-1) 例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标. y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋x＋()2]＋c－＝a(x＋)2＋ 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下． 对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，) 想一想： 如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= x + x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你有哪些计算方法？与同伴进行交流. 【解析】（1）将函数y= x + x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离; ∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1） 由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2） 且左右两条钢缆关于y轴对称， ∴右边的钢缆的表达式为： 这条抛物线的顶点坐标是（20,1） ∴这两条钢缆最低点之间的距离为： 当然，还有别的方法建立关系式进行解题，同学们可以试试。 让学生动手操作，用配方法将函数改成顶点式 让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数的性质； 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； 同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 学生通过动手画函数，对前面的知识进行巩固，也能做比较，培养学生观察总结的能力。 教师要关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决问题的意识. 通过本环节的设计，培养学生开动脑筋, 敢于说出自己的见解和猜想，团结合作、讨论交流、形成共识、领悟开窍、再加上教师的及时鼓励，激励信心，从而使学生学习兴趣更浓。
课堂练习 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 2.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( ) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 3. 点P1（-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图像上，则y1 ，y2，y3的大小关系是 . 4.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表： 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= , x=2对应的函数值y= . 5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经 过点(－2，4)． (1)求b，c满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值 变化时，求n关于m的函数解析式； 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质将y=2化成y=a(x-h)2+k的形式把二次函数y=ax +bx+c的化为顶点式： 学 生 活 动 区
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