2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 同步练习

3.1.1　椭圆及其标准方程
基础巩固
1.已知F1,F2为两定点,且|F1F2|=6,若动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|,则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.若椭圆=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知椭圆=1(m>0)的左焦点为F(-3,0),则m=(　　)
A.9 B.4 C.3 D.2
4.已知动点M(x,y)满足方程=10,则动点M的轨迹方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
5.(多选题)已知P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则下列说法正确的是(　　)
A.△PF1F2的周长为12
B.△PF1F2的面积为2
C.点P到x轴的距离为
D.=2
6.若椭圆=1的焦距等于2,则实数m的值等于　　　　　.
7.求过点P(3,0)且与圆C1:x2+y2+6x-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.
能力提升
1.若椭圆=1上一点到两焦点的距离之和为m-3,则m的值为(　　)
A.1 B.7 C.9 D.7或9
2.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆=1上,且满足||-||=2,则的值等于(　　)
A.-12 B.12 C.-9 D.9
3.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.5 B.7 C.13 D.15
4.已知点M是椭圆=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1|·|MF2|的最大值为8,则a的值等于(　　)
A.8 B.4 C.2 D.2
5.已知P是椭圆+y2=1上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2的最大值为(　　)
A. B. C. D.
6.已知直线2x+y-4=0过椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,则椭圆E的方程为　　　　　　　　　　.
7.设P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面积;
(2)求点P的坐标;
(3)求的值.
参考答案
基础巩固
1. A
2. B
3. B
4. A
5. BCD
6. -4或-6
7.解:圆C1的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r=10.
设动圆圆心为C,半径为R,则依题意有|CP|=R且|CC1|=10-R.
于是|CC1|+|CP|=10,即动点C到两个定点C1(-3,0),P(3,0)的距离之和等于常数10,且10>|C1P|,
故动圆圆心C的轨迹为以C1(-3,0),P(3,0)为焦点的椭圆.
于是设椭圆方程为=1(a>b>0),则2a=10,c=3,b2=a2-c2=16,
故所求动圆圆心的轨迹方程为=1.
能力提升
1. C
2. D
3. B
4. C
5. B
6.+y2=1
7.
解:(1)由椭圆方程,知a2=25,b2=,
则c2=,c=,2c=5.
在△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,
则100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,
则|PF1|·|PF2|=25,故△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|sin60°=.
(2)设点P(x0,y0),则△F1PF2的面积S=·|F1F2|·|y0|,
由(1)可得×5|y0|,解得|y0|=.
又点P在椭圆上,所以=1,解得x0=0,
于是点P的坐标为.
(3)由(1)可得F1,F2,
于是=(,-)或=(-),=(),
故=-.