2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系 同步练习

第2课时　直线与椭圆的位置关系
基础巩固
1.直线y=kx-k+1与椭圆=1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.已知过原点的直线l与曲线C:+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于,则直线l的斜率等于(　　)
A. B.± C. D.±1
3.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆的方程是(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
4.椭圆=1上的点到直线x-2y-12=0的距离的最大值为　　　　　,取得最大值时对应的点的坐标为　　　　　.
5.已知直线x+y-1=0与椭圆ax2+by2=1相交于A,B两点,C是线段AB的中点,O为坐标原点,若|AB|=2,直线OC的斜率为,求椭圆的方程.
能力提升
1.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.6 D.8
2.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点的个数为(　　)
A.0或1 B.2 C.1 D.0
3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(-2,1),则直线l的斜率为 (　　)
A. B. C. D.1
4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则的值等于(　　)
A.- B. C.- D.
5.若方程=x+m有实根,则实数m的取值范围是　　　　　.
6.已知O为坐标原点,椭圆方程为=1,斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点,M为线段AB的中点,则|OM|的取值范围是　　　　　.
7.已知椭圆C:=1(0(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
参考答案
基础巩固
1. A
2. D
3. C
4. 4　(-2,3)
5.解:易知a>0,b>0,a≠b,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为kAB,直线OC的斜率为kOC.
由题意得a+b=1①,
a+b=1②,
②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.
∵=kAB=-1,=kOC=,∴b=a.
又|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,
∴|x2-x1|=2.
由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入上式,得a=,b=,
∴所求椭圆的方程为y2=1.
能力提升
1. C
2. B
3. C
4. C
5. [-]
6.
7.
解:(1)由题设可得,得m2=,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设点P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.
由已知可得点B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),所以|BP|=yP,|BQ|=.
因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入椭圆C的方程,解得xP=3或xP=-3.
由直线BP的方程得yQ=2或yQ=8.
所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,
故△AP1Q1的面积为.
|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A(-5,0)到直线P2Q2的距离为,
故△AP2Q2的面积为.
综上,△APQ的面积为.