2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质 同步练习

3.2.2　双曲线的简单几何性质
基础巩固
1.(多选题)下列双曲线中,以直线2x±3y=0为渐近线的是(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.已知双曲线x2+my2=1的虚轴长为实轴长的4倍,则m的值等于(　　)
A.-4 B.- C.-16 D.-
3.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是双曲线C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
4.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
5.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为　　　　　.
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为2,求直线l的方程.
能力提升
1.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,点P在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为 (　　)
A.6 B.6 C.3 D.3
2.设F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1∶6,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.2x±y=0 B.x±2y=0
C.x±3y=0 D.3x±y=0
3.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则双曲线C的焦距的最小值为(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
4.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则双曲线C的离心率为　　　　　.
5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
参考答案
基础巩固
1. ABD
2. D
3. A
4. A
5.
6.
解:(1)由已知c=2及点P(3,)在双曲线C上,得解得a2=2,b2=2,
故双曲线C的方程为=1.
(2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,
由得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)
设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个不等实根,于是1-k2≠0,且Δ=16k2+24(1-k2)>0,得k2<3,且k2≠1.①
此时x1+x2=,x1x2=-.
又S△OEF=|OQ|·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=2,即(x1+x2)2-4x1x2=8,所以=8,解得k=±,适合①式,
故直线l的方程为y=x+2或y=-x+2.
能力提升
1.C
2. B
3. B
4. 2
5.
解:(1)由题意得
所以b2=c2-a2=2,
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
由得x2-2mx-m2-2=0,则Δ=8m2+8>0,
所以x0==m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,故m=±1.