2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 过关检测

第三章过关检测
一、选择题
1.已知曲线C:y2-mx2=1,则“曲线C是双曲线”是“m>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若抛物线y2=x的焦点与椭圆=1的左焦点重合,则m的值为(　　)
A.- B. C.-2 D.2
3.若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(　　)
A.双曲线的一支 B.圆
C.抛物线 D.双曲线
4.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F2(2,0),P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
5.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3 m,则该椭圆的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线交于点E,则|EF|等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
7.已知F为椭圆+y2=1(a>1)的一个焦点,过点F作圆x2+y2=1的两条切线,若这两条切线互相垂直,则a=(　　)
A.2 B. C. D.1
8.已知过抛物线y2=8x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,点P在线段AB上运动,原点O关于点P的对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为(　　)
A.8 B.10 C.14 D.16
9.已知双曲线E的中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过点(3,),(6,),则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线E的标准方程为-y2=1
B.双曲线E的离心率等于
C.双曲线E与双曲线=1的渐近线相同
D.直线x-y-1=0与双曲线E相切
10.已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)
A.a-c=m+R B.a+c=n+R
C.2a=m+n D.b=
12.设抛物线y=ax2的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则(　　)
A.点P的坐标为
B.直线AB的方程为y=
C.PA⊥PB
D.|AB|=
二、填空题
13.抛物线x+y2=0的准线方程为　　　　　.
14.椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　　　　.
15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,定点A(0,-2),若射线FA与抛物线C交于点M,与抛物线C的准线交于点N,则|MN|∶|FN|等于　　　　　.
16.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α=,则双曲线的离心率等于　　　　　　　　　.
三、解答题
17.(10分)已知双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且经过点(4,6).
(1)求双曲线的方程;
(2)若双曲线的左、右焦点是F1,F2,则在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|
18.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过点F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求椭圆C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
19.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x+与椭圆C交于A,B两点,其中O为坐标原点,求△AOB的面积.
20.(12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求直线l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
21.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围.
22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P的直线交椭圆C于E,F两点,是否为定值 若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由.
参考答案
1. C
2. A
3. A
4. A
5. B
6. D
7. C
8. D
9. ACD
10. ACD
11. ABD
12. ABC
13. x=
14. 25　(3,0)或(-3,0)
15.
16.
17.
解:(1)椭圆=1的焦点在x轴上,且c==4,即焦点坐标为(4,0),(-4,0),于是可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则有解得a2=4,b2=12,故双曲线的方程为=1.
(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.
由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=4,
于是|PF1|=5,|PF2|=1.
但当点P在双曲线的右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.
18.
解:(1)∵F(c,0),直线AB过点F,且AB⊥x轴,
∴直线AB的方程为x=c,
联立
解得∴|AB|=.
由题意可得,抛物线C2的方程为y2=4cx,联立∴|CD|=4c.
∵|CD|=|AB|,∴4c=,2b2=3ac,
∴2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,
解得e=(e=-2舍去),
因此,椭圆C1的离心率为.
(2)由(1)知a=2c,b=c,椭圆C1的方程为=1,联立消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0,解得x=c或x=-6c(舍去),
由抛物线的定义可得|MF|=c+c==5,解得c=3.
因此,曲线C1的标准方程为=1,
曲线C2的标准方程为y2=12x.
19.
解:(1)由题意可得解得a=,c=,b=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得4x2+6x+3=0,
则x1+x2=-,x1x2=.
于是|AB|==.
原点O到直线AB的距离d==1,故△AOB的面积S=·d·|AB|=×1×.
20.
解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+.
又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-=-.
从而-,得t=-.
所以直线l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0,
所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,
故y2=-1,y1=3.
代入抛物线C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
21.
解:(1)由题意知e=,
则e2=,即a2=b2.
因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,
所以b=,所以b2=3,a2=4,故椭圆C的方程为=1.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),
联立得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,
得k2<.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=k(x1-4)·k(x2-4)=k2x1x2-4k2·(x1+x2)+16k2=,
因而=x1x2+y1y2==25-,
因为0≤k2<,所以-29≤-<-,
所以-4≤25-.
故的取值范围是.
22.
解:(1)由题意,可得
解得故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当过点P的直线不是x轴时,设其方程为x=ny+,由消去x得3(n2+2)y2+2ny-4=0.
则Δ=72n2+96>0,设E(x1,y1),F(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-,
又|EP|2=+(0-y1)2=(-ny1-)2+(0-y1)2=(1+n2),
同理|FP|2=(1+n2),
所以·
=3.
当过点P的直线为x轴时,不妨设x1则|EP|=,|FP|=,
则=3.
综上可知,为定值,定值为3.