4.5.1函数的零点与方程的解 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
4.5.1函数的零点与方程的解
人教A（2019）版
必修一
新知导入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次
方程的实数根就是相应二次函数的零点.
例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3
再看二次函数f(x)=x2-5x+6的图像与x轴交点
y
6
3
x
0
2
图像显示：
二次函数f(x)=x2-5x+6与x交点横坐标就是2和3.
这个交点横坐标或方程的根我们叫它零点
下面我们给出零点的定义
新知讲解
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
说明： 函数的零点不是点，而是数，是函数图像与x轴交点的横坐标。
等价关系
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
零点的求法
代数法
图象法
新知讲解
类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，
像 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似
的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x) =0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点
一般地，对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以把它与相应的函数
y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。
A
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
解析　由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
两
3、函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （ ）
A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2
D
新知讲解
新知讲解
函数零点存在性定理
观察1 函数f(x)= x2-2x-3在其零点附近函数值的变化情况，如图：
（1）f(-2)f(1) < 0,
函数在开区间（-2，1）内有零点-1；
（2）f(1)f(4)<0,
函数在开区间（1，4）内有零点3；
新知讲解
一般情况下， 函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况，如图：
（1）f(a)f(b)<0,
函数在开区间（a，b）内有零点；
（2）f(b)f(c)<0,
函数在开区间（b，c）内有零点；
（3）f(c)f(d)<0,
函数在开区间（c，d）内有零点；
新知讲解
函数零点存在定理
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。
在定理的应用上，满足定理所有条件的函数一定存在零点，那么存
在零点的函数是否都必须具备定理的条件呢
我们来思考下面的几个问题
新知讲解
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区
间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
分析：如右图，可能没有零点，
因为图像不是连续不断的。
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数
y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
分析：如右图，虽然图像是连续不断的，
但是不满足(a) f(b)<0
0
y
x
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可
新知讲解
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间
(a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
x
y
0
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)
在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
观察图像我们看到：函数有零点，
但是f(a)f(b)>0
我们观察右图：
问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，
且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个
零点呢？
0
y
x
函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。
所以，满足零点存在定理可以确定至少存在一个零点。
进一步我们可以得到：满足零点存在定理的单调函数有且只有一个零点。
新知讲解
合作探究
例1、判断函数f(x)=lnx+2x-6的实数解的个数。
解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象如下：
画出函数图像：
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
由对应值表和图像可知：
f(2)<0, f(3)>0，
即f(2) f(3)<0，
由函数零点存在定理可知，这个函数在
区间(2,3)内至少有一个零点。
已知函数f(x)=lnx+2x-6的定义域为(0,+∞)。
∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数
∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，
又f(2) f(3)<0，
∴函数在定义域(0,+∞)内有且只有一个零点。
例2．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　)
A．(0,1)　 B．(－1,0)　 C．(2,3)　 D．(1,2)
解析　由f(0)=-3<0，f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零点
所在区间为(1,2)．
D
例3.(1)函数y=lg(x+1)-1的零点是_______
(2)函数y=2x的零点个数是_______
0个
9
解析：令lg(x+1)-1=0，lg(x+1)=1，所以x+1=10，x=9
解析：因为y=2x的值域(0,+∞),其图像与x轴没有交点，所以没有零点。
合作探究
课堂练习
2．思考辨析
(1)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．(　　)
(2)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．(　　)
×
×
( )
B
课堂总结
函数的零点定义：
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函
数y=f(x)的零点。
函数的零点不是点，而是数，是函数图像与x轴交
点的横坐标。
函数零点存在性定理：
函数存在唯一零点的条件：
解决零点问题常用的方法：
(1)用定理；(2)解方程；(3)画图象．
板书设计
函数的零点定义
函数零点存在性定理
函数存在唯一零点的条件
解决零点问题常用的方法
对于一般函数y=f(x),
我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数y=f(x)的零点。
(1)连续不断
(2)两端点函数值
符号相反。
单调函数
(1)用定理；
(2)解方程；
(3)画图象．
作业布置
1、判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
2、判断函数 是否存在零点，如果存在，有几个？
3、课本P144练习1、2
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