第三章 3.1.1 空间向量及其加减﹑数乘运算

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第三章
空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算
3．1．1 空间向量及其加减﹑数乘运算
1．掌握空间向量相关的概念、几何表示法、字母表示法．
2．了解共线(平行)向量、共面向量的定义．
3．掌握空间向量的加减、数乘运算及运算律，共线向量、
共面向量的表示法．
4．理解共线、共面向量定理及其推论，并能利用它们证明
空间向量的共线、共面问题．
1．空间向量．
在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向
量．向量的__________叫做向量的长度或模．
大小
方向
大小
2．向量的表示法(如图 3－1－1)．
(1)几何表示法：用______________表示.
(2)字母表示法：用一个字母表示．
如图 3 －1 －1 ，此向量的起点是 A ，终点是 B ，可记作
________，也可记作________，其模记为________或________．
图 3－1－1
有向线段
a
|a|
是________．当有向线段的起点A与终点B重合时，AB＝0.
3．零向量．
长度为______的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向
→
4．单位向量．
模长为________的向量．
5．相反向量．
与向量 a 的______相等而__________相反的向量，称为 a
的相反向量，记作－a.
0
任意的
1
长度
方向
6．相等向量．
__________相同且________相等的向量称为相等向量．在
空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
图 3－1－2
方向
模
OB＝____________＝__________；
CA＝____________＝__________.
7．类似于平面向量，定义空间向量的加减运算(如图
3－1－2)．
→
→
a＋b
a－b
8．空间向量的加法运算律．
(1)交换律：_________________.
(2)结合律：___________________.
9．向量的数乘．
实数λ与向量 a 的积仍然是一个向量，记作______，称为
向量的数乘．长度是_____________．当λ>0 时，λa 与向量
a的方向________；当λ<0 时，λa 与向量 a 的方向________；
当λ＝0时，λa＝________.
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
λa
|λ|·|a|
相同
相反
0
11．共线向量．
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相
________________，则这些向量叫做共线向量或__________．
12．共线向量定理．
对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在
实数λ，使__________，称此为共线向量定理．
注意：b≠0 不可丢掉，否则实数λ就不一定存在．
(1)分配律：__________________.
(2)结合律：__________________.
10．数乘运算律．
λ(a＋b)＝λa＋λb
λ(μa)＝(λμ)a
平行或重合
平行向量
a＝λb
13．共面向量．
________________________叫做共面向量．空间任意两个
向量______________．
14．共面向理定理．
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面
的充要条件是：_______________________________________.
称此为共面向量定理．
平行于同一平面的向量
总是共面的
存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
【要点1】正确理解空间向量的概念．
【剖析】(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的模是正
数或 0，是可以进行比较大小的．由于方向不能比较大小，因
此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的，比如可以说|a|>|b|，
但不能说 a>b.
(2)在空间，单位向量、向量的模、相等的向量和相反向量
等概念与平面向量中相对应的概念完全一致．
【要点2】向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是
什么？
【剖析】对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有
共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量
减法要求两向量有共同的起点．
【要点3】空间向量的数乘运算．
【剖析】空间向量数乘运算的结果仍是一个向量，可以根据
定义来判断它的方向和大小．向量 a 的模可以扩大(当|λ|>1时)，
也可以缩小(当|λ|<1 时)；向量 a 的方向可以不改变(当λ>0时)，
也可以改变(当λ<0 时)．实数与向量可以求积，但是不能进行
加减，例如λ＋a，λ－a 是没有意义的．
【要点4】共线向量与共面向量．
【剖析】对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，共线向量定
理可分解为以下两个命题：①a∥b 存在唯一实数λ使 a＝λb；
②存在唯一实数λ，使得 a＝λb a∥b.
对于空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三
个向量就不一定共面了．三个非零向量 a，b，c，其中任意两
个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数 l，
m，n，使 la＋mb＋nc＝0.
题型1 空间向量的线性运算
例1：如图 3－1－3，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列
各式中运算的结果为向量 AC1 的共有(
)
A．1 个
C．3 个
B．2 个
D．4 个
图 3－1－3
思维突破：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或
三角形法则，遇到减法时既可以转化成加法，也可以按减法法
则进行运算．
答案：D
A
CD＝7a－2b，则一定共线的三点是(
题型2 共线问题
→
)
A．A，B，D
C．B，C，D
B．A，B，C
D．A，C，D
思维突破：证明三点共线的关键是证明以某点为起点的两
个向量中，一个向量可以表示为另一个向量与某个实数的数乘
形式．
答案：A
(1)OB＋OM＝3OP－OA；
(2)OP＝4OA－OB－OM.
题型3 共面问题
例3：对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列条件下，
点 P 是否与点 A，B，M 一定共面？
→ → → →
→ → → →
思维突破：要证明四点共面，可以根据共面向量定理证明
其中任意两个点所构成的向量共面，从而得到四点共面．
【变式与拓展】
A．有相同起点的向量
C．共面向量
B．等长的向量
D．不共面向量
C