第三章 3.1.2 空间向量的数量积运算

(共17张PPT)
3．1．2 空间向量的数量积运算
1．了解空间向量夹角的概念及表示方法．
2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用．
3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．
点O，作OA＝a，OB＝b，则__________叫做向量a，b的夹角，
1．如图 3－1－6，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一
→ →
记作__________．
图 3－1－6
∠AOB
〈a，b〉
[0，π]
向量a，b互相垂直
a⊥b
a，b的数量积
a·b
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
4．空间向量的数量积满足以下运算律：
(1)(λa)·b＝__________.
(2)a·b＝__________.
(3)a·(b＋c)＝______________.
注意：一般情况下(a·b)·c 与 a·(b·c)是不相等的．
5．线线垂直．
若 a，b 是非零向量，则 a⊥b __________.
λ(a·b)
b·a
a·b＋a·c
a·b＝0
【要点】利用数量积求夹角与长度．
(1)AB·AC；(2)AD·BD；(3)GF·AC.
题型1 求向量的数量积
例1：如图 3－1－7，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对
角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，求
下列向量的数量积：
→ → → → → →
图 3－1－7
【变式与拓展】
则 a·b＋b·c＋c·a＝(
)
A．1.5
B．－1.5
C．0.5
D．－0.5
C
PC的自身数量积，由已知向量的模及向量间的夹角，得其模的
题型2 求线段的长度
例2：已知在 ABCD 中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，
PA ⊥平面 ABCD，并且 PA ＝6，求 PC 的长．
思维突破：求 PC 的长，先把 PC 转化为向量，然后求向量
→
平方，再开方即为所求．
求|PC|.
【变式与拓展】
2．已知 PA ⊥平面 ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，
→
题型3 向量的夹角问题
例3：如图3－1－8，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，
AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA与 BC 夹角
的余弦值．
图 3－1－8
【变式与拓展】
3．如图 3－1－9，在平行六面体 AC′中，∠B′BA＝
∠B′BC＝∠ABC＝60°，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，求 A′D
与 D′C 所成的角的余弦值．
图 3－1－9