第三章 3.1.3 空间向量运算的坐标表示

(共16张PPT)
3．1．3 空间向量运算的坐标表示
1．了解空间向量基本定理、意义及其表示．
2．理解空间向量的正交分解、长度公式、夹角公式和空间
两点间距离公式．
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底
表示其他向量．能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题．
1．设 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任
一向量 p，存在一个__________________，使得____________，
我们称____________为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
2．空间向量基本定理．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，
存在有序实数组(x，y，z)，使得 p＝____________.
有序实数组(x，y，z)
p＝xi＋yj＋zk
xi，yj，zk
xa+yb+zc
3．如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所组
成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看
作是由 a，b，c 生成的，我们把____________叫做空间的一个
基底 ，_________ 都叫做基向量 ．空间任何________________
都可构成空间的一个基底．
4．设 e1，e2，e3 为有公共起点 O 的三个两两相互垂直的单
位向量，称它们为________________．
{a，b，c}
a，b，c
三个不共面的向量
单位正交基底
5．在空间选定一个单位正交基底{e1，e2，e3 }，以 e1，e2，e3
的公共起点 O 为______，分别以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴， y 轴，
z 轴的_________建立空间直角坐标系 Oxyz.那么对于空间任意一个
向量 p ，一定可以把它平行移动，使它的起点________________，
得到一个向量________．由空间向量分解定理可知，存在有序实
数组{x，y，z}，使得_________________．我们把_______称作向
量p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作____________．
原点
正方向
与原点O重合
p＝xe1＋ye2＋ze3
x，y，z
p＝(x，y，z)
6．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有
向线段的_____________________．
7．设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝________________________；
a－b＝________________________；
λa＝__________________；a·b＝________________；
a∥b ______________________________________；
a⊥b ____________________.
终点与始点的坐标之差
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
题型1 空间向量的坐标运算
例1：已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b；
a－b；a·b；(2a)·(－b)；(a＋b)·(a－b)．
自主解答：a＋b＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2,－2,2)；
a－b＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0,－6)；
a·b＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.
思维突破：计算时注意运算法则和公式的灵活应用．
【变式与拓展】
1．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b＝(
)
A．(16,0,4)
C．(8,16,4)
B．(8，－16,4)
D．(8,0,4)
解析：4a＋2b＝4(3,－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12,－8,4)＋ (－4,8,0)
＝(8,0,4)．故选 D.
D
并求MN，DC的坐标．
题型2 坐标表示空间向量
例2：已知 PA 垂直于边长为 1 的正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA ＝AD.建立直角坐标系
→ →
思维突破：空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互
相垂直的直线．
【变式与拓展】
2．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋
2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量 a，b 的坐标分别是__________，
____________.
(3,2,－1)
(－2,4,2)
(2)求cos〈BA1，CB1〉的值．
题型3 空间向量的夹角、距离公式的应用
例3：已知如图 3－1－10，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底
面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，点 N 是
A1A 的中点．
(1)求 BN 的长；
→ →
图 3－1－10
【变式与拓展】
3．已知 a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值
是(
)
C
O 为坐标原点，求向量OA与OB的夹角．
4．已知点 A 的坐标是(－1,－2,6)，点 B 的坐标是(1,2,－6)，
→ →