第三章 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

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名称 第三章 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2012-10-06 15:15:38

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(共26张PPT)
3.2 立体几何中的向量方法
3.2 . 1 直线的方向向量与平面的法向量
1.了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示来出.
2.理解并掌握用向量方法解决立体几何问题.
3.掌握把立体几何问题转化为向量问题.
1.空间中的点P,可用向量OP表示,OP称为点P的________.
→ →
2.空间中任意一条直线 l 的位置可以由_______________
以及一个向量确定,这个向量叫做直线的____________.
3.直线 l⊥平面α,取直线 l 的方向向量 a,则向量
a⊥平面α,向量 a 叫做平面α的_____________.
注意:(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向
量.(2)一个平面的法向量有无限多个,且它们互相平行.
位置向量
l上一个定点A
方向向量
法向量
4.设 a,b 在平面α内(或与α平行),a 与 b 不平行,直线 l
的方向向量为 c,则 l⊥α ___________________________ .
a⊥c且b⊥c(或a·c=0且b·c=0)
【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面.
【要点2】平面法向量的求法.
【要点3】直线的方向向量与平面的法向量的应用.
面ABC内的任意向量,不妨取AB,BC,因它们的基线相交,将
题型1 求平面的法向量
例1:已知点 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的
一个法向量.
思维突破:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个
向量.
自主解答:设平面 ABC 的一个法向量为 n,则 n 垂直于平
→ →
其转化成数量积为 0,求得 n.
C
面的位置关系
题型2 由直线的方向向量与平面的法向量判断线、
∴a·b=8-6-2=0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.
(2)∵u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),
∴v=-3u.∴v∥u.∴α∥β.
(3)∵a=(1,-4,-3),u=(2,0,3).
∴a·u≠0 且 a≠ku(k∈R).
∴a 与 u 既不垂直也不共线,即 l 与α相交但不垂直.
(4)∵a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),
∴a·u=-3+4-1=0.
∴a⊥u.∴l α或 l∥α.
自主解答:(1)∵a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
2.下列命题中正确的是(
)
A
A.若 n 是平面 ABC 的一个法向量,则 n 和平面 ABC 内任
意一条直线的方向向量垂直
B.若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直,则 n 是
平面 ABC 的法向量
C.若 n 既是平面α 的法向量,又是平面β 的法向量,则
α ∥β
D.若α∥β ,则它们所有共同的法向量都在一条直线上
例3:如图 3-2-1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,
N 分别是 C1C,B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.
图 3-2-1
题型3 用向量方法证明线面、面面平行
线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面
内;②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面
向量且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向
量垂直.证明面面平行时可以直接证明两平面的法向量平行.
思维突破:用向量法证明线面平行有如下方法:①证明直
3.若互不重合的平面α,β的法向量分别为 u=(1,2,-2),
v=(-3,-6,6),证明:α∥β.
证明:∵u=(1 , 2,-2),v=(-3,-6 , 6),
∴v=-3u,即 v∥u.
又∵u,v 分别为平面α,β的法向量且α,β互不重合,
∴α∥β.
【变式与拓展】
例4:如图 3-2-2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为
AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的中点,求证:A1O⊥平面 GBD.
图 3-2-2
思维突破:用向量法证明线面垂直一般有如下两种方法:
①证明直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直;②证
明直线的方向向量与平面的法向量平行.
题型4 用向量方法证明线面、面面垂直
【变式与拓展】
4.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 B1B,
CD 的中点.求证:平面 DEA⊥平面 A1FD1.
证明:如图 D16,建立空间直角坐标系 Dxyz.不妨设正方体
的棱长为 2,则 D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0),
E(2,2,1).
图 D16