第三章 3.2.2 利用空间向量求角和距离

(共28张PPT)
3．2．2 利用空间向量求角和距离
1．会利用向量求解线面角的大小．
2．会利用向量求点到点、点到线、点到面的距离．
3．会利用向量求线到线、线到面、面到面的距离．
1．两条异面直线所成角的取值范围是____________．
2．直线与平面所成角的范围是____________．
3．二面角的平面角的取值范围是____________．
4．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”．
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题
中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为__________．
(2)通过__________，研究点、直线、平面之间的位置关系
以及它们之间距离和夹角等问题．
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
[0，π]
向量问题
向量运算
【要点1】利用空间向量求角．
【剖析】(1)利用空间向量求线线角、线面角的关键是将其
转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量
之间的角．
(2)利用空间向量求二面角的两种方法：
①找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大
小；
②利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平
面角的关系去求，此时需要依据图形特点建立适当的空间直角
坐标系．
【要点2】如何用向量法求点到面的距离？
【剖析】(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法
向量的模，即可求出点到平面的距离．
线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用点面距离的
方法进行求解．
题型1 利用空间向量求角
例1：正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 ，
求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角．
【变式与拓展】
1．直三棱柱 A1B1C1—ABC，∠BCA＝90°，D1，F1 分别是
A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余
弦值是 (
)
A
题型2 利用空间向量求距离
例2：在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求异面
直线 A1C1 与 B1C 的距离．
【变式与拓展】
2．在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 AB＝2，AA1＝1，则
点 A 到平面 A1BC 的距离为(
)
B
题型3 利用空间向量解决立体几何的综合问题
例3：已知长方体 ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直
线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30°，AE⊥BD 于点 E，F 为
A1B1 的中点．
(1)求平面 BDF 与平面 AA1B1B 所成二面角的余弦值；
(2)求点 A 到平面 BDF 的距离．