第一章 1.1.1 命题

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第一章
常用逻辑用语
1．1 命题及其关系
1．1．1 命题
1．了解命题的概念．
2．会判断命题的真假．
3．能正确理解命题的结构形式，并把命题化为“若 p，则q”
的形式．
1．一般地，用语言、符号或式子表达的，可以__________
的陈述句叫做命题．
2．其中判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语
句叫做假命题．
3．命题的常见形式是“若 p，则 q”．其中命题中的 p 叫
做命题的____________，q 叫做命题的__________．
判断真假
真
假
条件
结论
【要点1】如何判断一个句子是否是命题？
【剖析】一个句子要成为命题必须具备两个条件：①是陈
述句；②可以判断真假．一般来说，疑问句、祈使句和感叹句
等都不是命题．
下面的四个例子：①x>5；②x＋3＝1；③这是一棵大树；
④指数函数的图象真漂亮！都不是命题．在①，②中 x 是未知
数，不能判断“x>5”或“x＋3＝1”是否正确；③“这是一棵大
树”中的“大树”没有一个明确的界定，因而就不能判定真假；
④是感叹句，也不是命题．
【要点2】把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，写法
唯一吗？
【剖析】写法不一定唯一．如命题“负数的平方是正数”
可以改写为“若一个数是负数，则它的平方是正数”或“若一
个数是负数的平方，则这个数是正数”．
题型1 命题及其真假的判断
例1：下列语句：①6 是自然数且是偶数；②3≤2；③sinx>x；
④北京是中国的首都吗？⑤平行四边形的对角线相等且互相平
分．其中为真命题的有(
)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
思维突破：可以判断真假的陈述句即为命题，命题要么真，
要么假，或真或假的语句不是命题．
解析：仅①对．故选 A.
答案：A
【变式与拓展】
1．(2012 年浙江)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}
的前 n 项和，则下列命题错误的是(
)
C
A．若 d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则 d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n∈N*，均有 Sn>0
D．若对任意 n∈N*，均有 Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
题型2 找出命题的条件与结论
例2：指出下列命题中的条件 p 和结论 q：
(1)若 a，b，c 成等差数列，则 2b＝a＋c；
(2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形．
思维突破：数学中的一些命题虽然表面上不是“若 p，则
q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若 p，
则 q”的形式．一般而言，“若”、“如果”、“只要”后面是条件，
“则”、“那么”、“就有”后面是结论．
自主解答：(1)条件 p：a，b，c 成等差数列，
结论 q：2b＝a＋c.
(2)条件 p：一个函数是偶函数，
结论 q：这个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形．
【变式与拓展】
2．指出下列命题中的条件 p 和结论 q：
(1)若 a，b 都是无理数，则 ab 是无理数；
(2)如果一个数是奇数，那么它不能被 2 整除；
(3)函数 y＝sinωx(ω≠0)的最小正周期是
2π
ω
.
解：(1)p：a，b 都是无理数，q：ab 是无理数．
(2)p：一个数是奇数，q：它不能被 2 整除．
(3)p：函数 y＝sinωx(ω≠0)，q：它的最小正周期是
.
题型3 将命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假
例3：把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并判断其
真假：
(1)能被 6 整除的数既能被 2 整除，又能被 3 整除；
(2)平行于同一平面的两直线平行．
思维突破：在改写命题的形式时，要先找准哪一个是命题
的条件，哪一个是命题的结论，然后将条件写在前面，结论写
在后面．命题形式的改变并不改变命题的真假性．
自主解答：(1)如果一个数能被 6 整除，则它既能被 2 整除，
也能被 3 整除．真命题．
(2)如果两条直线平行于同一平面，则这两条直线平行．假
命题．
【变式与拓展】
3．将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真
假．
(1)面积相等的两个三角形全等；
(2)正数的平方根不等于 0；
(3)质数是奇数；
(4)同弧所对的圆周角不相等．
解：(1)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．
假命题．
(2)若一个数是正数，则它的平方根不等于 0.真命题．
(3)若一个数是质数，则它是奇数．假命题．
(4)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．