第一章 1.1.2 四种命题及其关系

(共13张PPT)
1．1．2 四种命题及其关系
1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会写出一个
命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．能够判断四种命题的真假．
3．掌握四种命题间互逆、互否和互为逆否的相互关系．
4．了解原命题与逆否命题、逆命题与否命题真假之间的等
价关系，并会将命题等价转化．
1．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结
论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做
__________．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的
__________．
(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件
的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做_______________．
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命
题的__________．
互逆命题
逆命题
互否命题
否命题
(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做________________．
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命
题的__________．
2．四种命题的符号语言表示．
(1)原命题：若 p，则 q.
(2)逆命题：若 _______，则______．
(3)否命题：若________，则________．
(4)逆否命题：若________，则________．
互为逆否命题
逆否命题
q
p
3．四种命题的关系．
(1)互逆：___________________；____________________.
(2)互否：___________________；____________________.
(3)逆否：___________________；____________________.
(4)等价性：______________________；____________________.
4．(1)两个命题互为___________，它们有相同的真假性．
(2) 两个命题为互逆命题或互否命题 ，它们的真假性________．
原命题与逆命题
原命题与逆命题
原命题与否命题
逆命题与逆否命题
原命题与逆否命题
逆命题与否命题
原命题与逆否命题同真假
逆命题与否命题同真假
逆否命题
没有关系
【要点】如何写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题？
【剖析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关
键是正确找出原命题的条件和结论，并写出条件的否定和结论
的否定，然后按照定义写出命题．当原命题不是“若 p，则 q”
的形式时，应先将命题写成一般形式“若 p，则 q”．
题型1 命题的转换
例1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若 x＝y，则 x2＝y2；
(2)垂直于同一平面的两直线平行；
(3)若 x＋y＝5，则 x＝3 且 y＝2；
(4)若 m·n<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实根．
思维突破：分清原命题的条件和结论，然后按照原命题、
逆命题、否命题和逆否命题之间的关系进行转换，转换时要注
意一些常见词语的否定的写法．例如：“都是”的否定为“不
都是”，“<”的否定为“≥”．
自主解答：(1)逆命题：若 x2＝y2，则 x＝y.
否命题：若 x≠y，则 x2≠y2.
逆否命题：若 x2≠y2，则 x≠y.
(2)逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一平
面．
否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不
平行．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同
一平面．
(3)逆命题：若 x＝3 且 y＝2，则 x＋y＝5.
否命题：若 x＋y≠5，则 x≠3 或 y≠2.
逆否命题：若 x≠3 或 y≠2，则 x＋y≠5.
(4)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实根，则 m·n<0.
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实根．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实根，则 m·n≥0.
C
解析：原命题的逆否命题是：条件和结论各自否定后，位
置互换即可．
题型2 四种命题及其真假性
例2：命题“若 x＋y＝5，则 x＝2 且 y＝3”及其逆命题、
否命题和逆否命题中，真命题的个数是(
)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
思维突破：利用四种命题的等价性进行判断，原命题与逆
否命题同真假； 逆命题与否命题同真假．
解析：由于原命题是假命题，逆命题是真命题，根据互为
逆否的两个命题同真假，故逆否命题是假命题，否命题是真命
题．故选 B.
答案：B
【变式与拓展】
2．已知：m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平
面，其中 m α，n β.命题 p：若α∥β，则 m∥n 的原命题、
逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是(
)
A
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．4 个
题型 3 间接证明
例3：证明：若 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2.
思维突破：由于原命题与逆否命题同真假，在证明时，若
原命题证明较难，可考虑证明其逆否命题．
证明：命题“若 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2”的逆否命题为“若
p＋q>2，则 p2＋q2≠2”．
【变式与拓展】
3．试判断命题“若 x≠3 或 x≠7，则 x2－10x＋21≠0”的
真假．
解：原命题为“若 x≠3 或 x≠7，则 x2－10x＋21≠0”，逆
否命题为：“若 x2－10x＋21＝0，则 x＝3 且 x＝7”，显然这是
一个假命题．故原命题也是一个假命题．