第一章 1.2.2 充要条件
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(共20张PPT)
1．2．2 充要条件
1．会判断一个命题的充要条件．
2．会求一个命题的充要条件．
3．会证明 p 是 q 的充要条件．
1．一般地，如果既有 p q，又有 q p，就记作：p q.这
时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的
____________条件，简称__________条件．其中“ ”叫做等
价符号．p q 表示 p q 且 q p.
2．如果________，那么 p 与 q 互为充要条件，也称 p 与 q
是等价的．
3．传递性．
若 p q，q r，则____________．
充分必要
充要
p q
p r
【要点1】若 p 是 q 的充要条件，那么 p 唯一吗？
【剖析】不唯一．例如对命题q：a＝1，命题 p：a3＝1，
命题 p′：直线 x＋y＝0 与直线 x－ay＝0 垂直，p 和p′都是q
的充要条件．事实上，由充要条件的传递性知道，若 p，p′都
是 q 的充要条件，那么 p p′.
【要点2】判断“p 是 q 的什么条件”的本质是什么？
【剖析】本质是判断命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”
的真假，若同为真，则 p 与 q 互为充要条件；若一真一假，则
p，q 是充分条件与必要条件中的一个．
【要点3】判断充要条件关系的主要方法有哪些？
【剖析】判断充要条件关系的主要方法有三种：
①定义法：若 p q，则 p 是 q 的充要条件；
②利用原命题和逆命题的等价性来确定“若 p，则 q”及
“若 q，则 p”的真假性；
③利用集合的包含关系：若 A B，则 a∈A 是a∈B 的充
分条件，a∈B 是a∈A 的必要条件；若 A＝B，则 a∈A 是a∈B
的充要条件．
题型1 充要条件的判断与计算
例1：下列各题中，p 是 q 的充要条件的有哪些？
(1)在△ABC 中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(2)p：a＋b<0 且 ab>0，q：a<0，b<0；
(3)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除．
思维突破：在判断 p 是 q 的充要条件时，必须同时满足
p q 且 q p，两个条件缺一不可．
自主解答：在(1)、(2)中， p q，
所以(1)、(2)中的 p 是 q 的充要条件．
在(3)中，p q，但 q p，
∴(3)中的 p 不是 q 的充要条件．
例2：已知关于 x 的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，
求方程有两正根的充要条件．
【变式与拓展】
1．下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是(
)
①p：m<－2 或 m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的
零点；
②p：
f(－x)
f(x)
＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；
④p：A∩B＝A，q： UB UA.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
答案：D
解析：在①中 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点 Δ＝
m2－4(m＋3)>0 m<－2 或 m>6；在②中，q p，因为当f(x)是
偶函数时，f(x)可以等于 0，而 p 中分母 f(x)≠0；在③中p是q的既
不充分也不必要的条件；在④中 A∩B＝A A B UB UA.
故①④中的 p 是 q 的充要条件．
/
2．方程 x2＋mx＋1＝0 在 R 上有两个负根的充分必要条件
是(
)
B
A．m≥2 或 m≤－2
B．m≥2
C．m≥3
D．m>2 或 m<－2
题型2 充要条件的证明
例3：(2012 年湖北武汉质检)求证：关于 x 的方程 ax2＋2x
＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1.
思维突破：证明 p 是 q 的充要条件，只需分别证明充分性
(p q)和必要性(q p)．
【变式与拓展】
3．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，当 p，q 满足 p＋q＝1 时，
证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数 x，y 都成立的充要
条件是 0≤p≤1.
证明：∵p＋q＝1，∴pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝p(1－p)x2＋
q(1－q)y2－2pqxy＝p(1－p)(x－y)2.
(1)充分性：若 0≤p≤1，则 p(1－p)≥0.
∴p(1－p)(x－y)2≥0.
∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)．
(2)必要性：当 pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)时，p(1－p)(x－y)2≥0.
∵(x－y)2≥0，∴p(1－p)≥0.∴0≤p≤1.
题型3 求充要条件
【变式与拓展】
4．已知方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求方程有两个大于 1 的
实数根的充要条件．
1．2．2 充要条件
1．会判断一个命题的充要条件．
2．会求一个命题的充要条件．
3．会证明 p 是 q 的充要条件．
1．一般地，如果既有 p q，又有 q p，就记作：p q.这
时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的
____________条件，简称__________条件．其中“ ”叫做等
价符号．p q 表示 p q 且 q p.
2．如果________，那么 p 与 q 互为充要条件，也称 p 与 q
是等价的．
3．传递性．
若 p q，q r，则____________．
充分必要
充要
p q
p r
【要点1】若 p 是 q 的充要条件，那么 p 唯一吗？
【剖析】不唯一．例如对命题q：a＝1，命题 p：a3＝1，
命题 p′：直线 x＋y＝0 与直线 x－ay＝0 垂直，p 和p′都是q
的充要条件．事实上，由充要条件的传递性知道，若 p，p′都
是 q 的充要条件，那么 p p′.
【要点2】判断“p 是 q 的什么条件”的本质是什么？
【剖析】本质是判断命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”
的真假，若同为真，则 p 与 q 互为充要条件；若一真一假，则
p，q 是充分条件与必要条件中的一个．
【要点3】判断充要条件关系的主要方法有哪些？
【剖析】判断充要条件关系的主要方法有三种：
①定义法：若 p q，则 p 是 q 的充要条件；
②利用原命题和逆命题的等价性来确定“若 p，则 q”及
“若 q，则 p”的真假性；
③利用集合的包含关系：若 A B，则 a∈A 是a∈B 的充
分条件，a∈B 是a∈A 的必要条件；若 A＝B，则 a∈A 是a∈B
的充要条件．
题型1 充要条件的判断与计算
例1：下列各题中，p 是 q 的充要条件的有哪些？
(1)在△ABC 中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(2)p：a＋b<0 且 ab>0，q：a<0，b<0；
(3)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除．
思维突破：在判断 p 是 q 的充要条件时，必须同时满足
p q 且 q p，两个条件缺一不可．
自主解答：在(1)、(2)中， p q，
所以(1)、(2)中的 p 是 q 的充要条件．
在(3)中，p q，但 q p，
∴(3)中的 p 不是 q 的充要条件．
例2：已知关于 x 的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，
求方程有两正根的充要条件．
【变式与拓展】
1．下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是(
)
①p：m<－2 或 m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的
零点；
②p：
f(－x)
f(x)
＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；
④p：A∩B＝A，q： UB UA.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
答案：D
解析：在①中 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点 Δ＝
m2－4(m＋3)>0 m<－2 或 m>6；在②中，q p，因为当f(x)是
偶函数时，f(x)可以等于 0，而 p 中分母 f(x)≠0；在③中p是q的既
不充分也不必要的条件；在④中 A∩B＝A A B UB UA.
故①④中的 p 是 q 的充要条件．
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2．方程 x2＋mx＋1＝0 在 R 上有两个负根的充分必要条件
是(
)
B
A．m≥2 或 m≤－2
B．m≥2
C．m≥3
D．m>2 或 m<－2
题型2 充要条件的证明
例3：(2012 年湖北武汉质检)求证：关于 x 的方程 ax2＋2x
＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1.
思维突破：证明 p 是 q 的充要条件，只需分别证明充分性
(p q)和必要性(q p)．
【变式与拓展】
3．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，当 p，q 满足 p＋q＝1 时，
证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数 x，y 都成立的充要
条件是 0≤p≤1.
证明：∵p＋q＝1，∴pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝p(1－p)x2＋
q(1－q)y2－2pqxy＝p(1－p)(x－y)2.
(1)充分性：若 0≤p≤1，则 p(1－p)≥0.
∴p(1－p)(x－y)2≥0.
∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)．
(2)必要性：当 pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)时，p(1－p)(x－y)2≥0.
∵(x－y)2≥0，∴p(1－p)≥0.∴0≤p≤1.
题型3 求充要条件
【变式与拓展】
4．已知方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求方程有两个大于 1 的
实数根的充要条件．