第一章 1.4 全称量词与存在量词

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1．4 全称量词与存在量词
1．理解全称量词与存在量词的意义．
2．掌握全称命题与特殊命题的定义．
3．能判定全称命题与特称命题的真假．
1．(1)短语“________”“________”在逻辑中通常叫做全称量
词，用符号“________” 来表示．含有全称量词的命题，叫做
_____________．
(2)全称命题“对 M 中任意一个 x，使 p(x)成立”可用符号简
记为____________．
注意 ： 常见的全称量词还有 “一切 ”“ 一个”“任何”“所
有的”等．
所有的
任意一个
全称命题
2．(1)短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫
做存在量词，用符号“________”表示．含有存在量词的命题，
叫做______________．
(2)特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简
记为______________．
注意：常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”
“有的”等．
存在一个
至少有一个
特称命题
特称命题
全称命题
3．含有一个量词的命题的否定．
命题 全称命题 x∈M，p(x) 特称命题 x0∈M，p(x0)
表述
方法 ①所有的 x∈M，使 p(x)成立 ①存在x0∈M，使 p(x0)成立
②对一切 x∈M，使 p(x)成立 ②至少有一个x0∈M，使p(x0)
成立
③对每一个 x∈M，使 p(x)成立 ③对有些x0∈M，使 p(x0)成立
④任给一个 x∈M，使 p(x)成立 ④对某个x0∈M，使 p(x0)成立
⑤若 x∈M，则 p(x)成立 ⑤有一个x0∈M，使 p(x0)成立
【要点】同一个全称命题和特称命题，可以有不同的表述
方法吗？
【剖析】同一个全称命题和特称命题，由于自然语言的不
同，可以有不同的表述方法(见下表).
题型1 全称命题和特称命题的判断
思维突破：首先看给出的语句是不是命题，其次看命题中
是否有全称量词或存在量词．要注意有些命题的量词是隐含在
句子中的，要能够准确补回其量词．
自主解答：(1)命题中含有特称量词“有一个”，因此是特
称命题．
(2)命题中含有全称量词“所有”，所以是全称命题．
(3)命题中含有特称量词“有的”，因此是特称命题．
(4)不是命题．
(5)题中隐含了全称量词“任意的”，因此是全称命题．
(6)命题中含有特称量词“至少有一个”，因此是特称命题．
(7)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题．
(8)命题中含有特称量词“ ”，是特称命题．
题型 2 全称命题和特称命题的否定及其真假判断
例2：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
思维突破：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定
是全称命题．“存在”对应“任意”．
自主解答：(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(2)存在一个素数不是奇数，真命题．
(3)所有实数的绝对值都不是正数，假命题．
(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
【变式与拓展】
2．下列四个命题的否定中真命题的个数是(
)
C
①所有实数的平方都是正数；
②任何实数 x 都是方程 5x－12＝0 的根；
③被 8 整除的整数能被 4 整除；
④若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
解析：①的否定为：存在一个实数 x，它的平方不是正数，
是真命题，如 02＝0 不是正数；②的否定为：存在一个实数 x0，
x0 不是方程 5x－12＝10 的根，是真命题．如 x0＝0,5×0－12≠0；
③④为真命题，所以真命题的否定为假命题．