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第20讲 直角三角形的全等判定及性质
直角三角形是特殊的三角形，本节主 ( http: / / www.21cnjy.com )要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．21·cn·jy·com
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模块一：直角三角形全等的判定
1、 直角三角形全等的判定方法：
（1） 直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；
（2） 直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．
【例1】 如图，△ABC中，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）21*cnjy*com
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①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①作PD⊥AC于D．由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；
②首先证出∠ABC+∠MPN=180° ( http: / / www.21cnjy.com )，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；21教育名师原创作品
③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（H ( http: / / www.21cnjy.com )L），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，S△APM+S△CPN=S△APC，即可判断．
【详解】
解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
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∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理 ( http: / / www.21cnjy.com )和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
【例2】 如果两个三角形中两条边分别相等，且相等的一对边上的高也相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等
【答案】D
【分析】
分两种情况讨论：当两个三角形全等时，当两个三角形不全等时，画出不全等时的图形，如图，证明，从而可得结论.
【详解】
解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，， 高，
延长 与高交于，
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，
在和中，
，
，
，
此时，，
是互补关系，
综上所述，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是“相等或互补”．
故选：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握利用斜边直角边公理判定直角三角形全等，清晰的分类讨论是解题的关键.
【例3】 下列命题中，正确的个数是( )
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【教师】①错误；②、③正确．
【总结】考查直角三角形全等的判定定理．
【例4】 如图，，，点E是上的一点，且，．求证：．
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【答案】见教师
【分析】
根据等角对等边可得，由此根据证明和全等解答即可．
【详解】
证明：，
，
∵，，
∴，
在和中，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
【例5】 已知：如图，在中，，BD平分，于点E，若与的面积比为，求与的面积之比．
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【答案】
【分析】
由角平分线的性质定理得DE=DC，可得△DBE≌△DBC，则这两个三角形面积相等，设的面积为3k，则的面积为8k，由此可得△ADE的面积，从而最后求得结果．【版权所有：21教育】
【详解】
∵BD平分，，
∴DE=DC
∵BD=BD
∴Rt△DBE≌Rt△DBC(HL)
∴△DBE与△DBC的面积相等
∵与的面积比为
设的面积为3k，则的面积为8k
∴△DBE的面积为3k，△ADE的面积为：8k-3k-3k=2k
∴与的面积之比为：2k:8k=1:4．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键．
【例6】 如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：．
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【答案】证明见教师
【分析】
根据角平分线性质求出DE＝DF，根据HL推出△BED≌△CFD即可．
【详解】
证明：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出△BED≌△CFD，注意：全等三角形的对应边相等．
【例7】 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．
（1）求证：DC＝DE；（本小题要求写出每一步的推理依据）
（2）求证：△CDF≌EDB；
（3）求∠ADF的度数．
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【答案】（1）见教师；（2）见教师；（3）30°
【分析】
（1）根据角平分线的性质即可得解；
（2）根据直角三角形全等的判定定理进行证明；
（3）由全等的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后由三角形外角的性质可得解．
【详解】
解：（1）证明：∵DE⊥AB(已知)
∴ (垂直的定义)
∵，AD平分（已知）
∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）
（2）由（1）可得和均为直角三角形
在和中
∴
（3）∵
∴
∵AD平分
∴
∵
∴∠CFD=∠B=50°
∵
∴
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握相关的判定与性质是解答本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
【例8】 在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，若BD>CE，试问：
（1） AD与CE的大小关系如何 请说明理由；
（2） 线段BD、DE、CE之间的数量关系如何 你能说明清楚吗 试一试．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【教师】（1），，
， ，
，
在和中，
， ≌（）
（全等三角形对应边相等）
（2）
，又 ，
≌， ．
【总结】考查全等三角形的应用及线段间的等量代换．
【例9】 已知：如图∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线DN交与点D，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若△ABD的面积为10cm2，△ACD的面积为6cm2，求△CDF的面积．
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【答案】（1）见教师；（2）2cm2
【分析】
（1）连接、，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论；
（2）由证得，由（1）得出，可得等量关系，即可求解．
【详解】
（1）证明：连接、，
如图所示：
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的垂直平分线过点，
，
点是的角平分线上的点，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
由（1）知，
由图可知：（cm2），
（cm2）．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构建全等三角形．2·1·c·n·j·y
【例10】 如图，四边形是堤坝的横截面，其中，且于点E，于点F，，问与是否相等？为什么？
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【答案】相等．证明见教师．
【详解】
教师：只要证明即可．
答案：解：相等．证明：∵，，
∴，
在和中，
∴（HL），∴．
易错：证明：∵，，
∴，
在和中，
∴（SSA），∴．
错因：误用错误的判定方法SSA判定三角形全等．
满分备考：“HL”判定方法只适用于直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )全等的判定，同时，使用时必须强调三角形为直角三角形．在判定两个直角三角形全等时，首选“HL”，如果没有合适条件，再考虑其他四个判定方法．
模块二：直角三角形的性质
2、 两个性质：
（1） 直角三角形的两个锐角互余；
（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．
【例11】 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D：
（1）若∠B=55°，则∠A=________；
（2）若∠B∠A=10°，则∠B=_________；
（3）图中与∠A互余的角有_________，与∠A相等的角有_________．
【答案】（1）；（2）；（3）、；．
【教师】直角三角形的两个锐角互余，题目中有三个直角三角形、、．
【总结】直角三角形性质1：直角三角形的两个锐角互余的运用．
【例12】 如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点．求证：MN⊥BD．21·世纪*教育网
【答案】见教师．
【教师】联结、．
，M分别是AC中点
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）
， 是中点， （等腰三角形三线合一）．
【总结】考查直角三角形斜边中线性质及等腰三角形三线合一性质的综合运用．
【例13】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设∠A=y，∠DFC=x，
（1）求证：∠CDB=∠CEB；
（2）用x的代数式表示y．
【答案】（1）略；（2）．
【教师】（1） ，AB的中垂线交AB于E
、（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
，，．
又AB的中垂线交AB于E， （垂直平分线的性质）
，，
（2），，
又，
．
即，
【总结】主要考查：直角三角形斜边中线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和性质的综合运用．
【例14】 如图中，AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，，P是CF 中点． 求证：（1）；（2）．
【答案】略
【教师】（1）联结
AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，
∵是直角斜边上的中线， ， ．
， ， 又是中点， ．
（2）， ， ， ．
， ．
【总结】考查等腰三角形的判定与性质，注意掌握直角三角形中，斜边中线等于斜边一半的定理应用．
【例15】 已知，如图，在△ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、M．www.21-cn-jy.com
求证：MN是线段EF的中垂线．
【难度】★★★
【答案】见教师．
【教师】连接FM、EM、FN、EN
∵，M为BC的中点， ∴
∵，M为BC的中点，
∴，∴
∵，N为AH的中点，∴
∵，N为AH的中点，∴，
∴， ∵，
∴MN是线段EF的中垂线．
【总结】考察直角三角形的性质和线段垂直平分线性质定理逆定理的综合运用．
3、 推论：
（1） 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；
（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【例16】 △ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=________；
（2）△ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角∠BAC=_______．
【难度】★
【答案】（1）；（2）或．
【教师】（1）在中，，则；
（2）要分两种情况考虑，△可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形；
当△是锐角三角形时，；
当△是钝角三角形时，．
【总结】考查直角三角形性质的两条推论的运用以及分类讨论思想．
【例17】 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为__________ ( http: / / )．
【答案】．
【教师】过点作，垂足为，则．
又，，
，
，
【总结】考查直角三角形性质的推论的运用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°www-2-1-cnjy-com
【例18】 已知：如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：．
【答案】见教师．
【教师】连接BD
∵BA=BC，∠B=120°， ∴
∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴，
∴
∵∠B=120°，∴
∵，，∴
∵，∴
【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形性质的综合运用．
1．如图，在△ABC中，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（ ）21*cnjy*com
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A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【分析】
由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质得到DH=DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积=△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】
解：过点D作DH⊥AC于H，
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∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积=△DGH的面积，
设△DEF的面积=△DGH的面积=S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积=△ADH的面积，
∴24-S=18+S，
解得，S=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
3．如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（ ）
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A． B． C．垂直平分 D．
【答案】D
【分析】
根据角平线的判定定理可判断A，证明，可判断B，根据，可得OC=OD，进而可判断C，根据等边三角形的定义，可判断D．
【详解】
解：∵点是内的一点，于点，于点，，
∴OP是∠AOB的平分线，即，故A成立，不符合题意；
∵OP=OP，，
∴（HL），
∴，故B成立，不符合题意；
∵，
∴OC=OD，
又∵，
∴垂直平分，故C成立，不符合题意；
∵不一定是等边三角形，
∴不一定成立，故D符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质以及等边三角形的定义，掌握上述定理和定义是解题的关键．2-1-c-n-j-y
4．如图，AE是∠CAM ( http: / / www.21cnjy.com )的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝_____°．
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【答案】37
【分析】
连接CE，过E作ER⊥AC ( http: / / www.21cnjy.com )于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝28°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．
【详解】
解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
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∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
5．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与，E、F分别是、的中点，可证得__________，理由是__________，于是点G是__________的中点．
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【答案】 HL
【分析】
证明Rt△AEG≌Rt△BGF可得AG=BG即可说明G点为AB中点．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠A=∠B=90°．
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=BF．
在Rt△AGE和Rt△BGF中
∴Rt△AGE≌Rt△BGF（HL）．
∴AG=BG．
∴G点一定是AB的中点．
故答案为：；HL；
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的稳定性，在几何图形中说明线段相等一般借助两个三角形全等进行求解．21教育网
6．如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件_________．（填写一个你认为适当的条件即可）
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【答案】
【分析】
先证明可得：再结合补充的条件证明，从而可得答案.
【详解】
证明：补充：，理由如下：
AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握斜边直角边与边角边公理证明三角形全等是解题的关键.21cnjy.com
7．如图，中，是边的垂直平分线．若的平分线与交于点G，连结，试探究与满足的等量关系，并证明你的结论．
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【答案】∠BAC+∠BGC=180°，证明见教师
【分析】
过点G作GE⊥AB于E，GF⊥AC交AC ( http: / / www.21cnjy.com )延长线于F，由角平分线的性质和线段垂直平分线的线段可以得到GB=GC，GF=GE，从而证明△BEG≌△CFG，得到∠GBE=∠GCF，则∠EBG+∠ACG=180°，再根据四边形内角和为360°，即可证明．
【详解】
解：∠BAC+∠BGC=180°，证明如下：
如图所示，过点G作GE⊥AB于E，GF⊥AC交AC延长线于F，
∵MN垂直平分BC，
∴GB=GC，
∵GA平分∠BAC，GE⊥AB，GF⊥AC，
∴GF=GE，∠GEB=∠GFC=90°，
∴△BEG≌△CFG（HL），
∴∠GBE=∠GCF，
∵∠ACG+∠GCF=180°，
∴∠EBG+∠ACG=180°，
∵∠BGC+∠ACG+∠BAC+∠ABG=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．
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【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．如图．在△ABC中，，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角的平分线于点D，垂足为，垂足为F．求证：．
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【答案】见教师．
【分析】
过作，垂足为，连接、，推出，，根据证，推出，根据证，推出即可．
【详解】
证明：过作，垂足为，连接、，
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∵平分， 垂直平分，
∴，，
又，，
，
在和中
，
∴
，
在和中
，
∴
，
，
即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解决本题的关键．【出处：21教育名师】
1．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=CE．求证：．
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【答案】证明见教师．
【分析】
由AB⊥BE和DE⊥BE可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=∠E=90°，由此可得△ABC和△DEF是直角三角形；又由BF=CE可得CB=EF，再加条件AC=DF，可以用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此可以得到∠ACB=∠DFE．
【详解】
证明：∵AB⊥BE
∴∠B=90°
∵DE⊥BE
∴∠E=90°
∵BF=CE
∴BF+CF=CE+CF
即：CB=EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ACB=∠DFE．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握证明直角三角形全等的HL定理．
2．如图所示，在中，，，，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）．
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（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间与全等？请说明理由．
（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．
（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．
【答案】(1)2秒，理由见教师；(2)经过，点P的速度是，则点Q的速度是时，与全等；(3)经过16秒时间点P与点Q第一次相遇，相遇点在边上，相遇点到点B的距离为
【分析】
(1)由点P、Q同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得，当时，与全等，从而得出关于的一元一次方程解出即可得出答案；
(2) 设点P的速度是，则点Q的速度是，由，结合全等三角形的性质可得，，即可得出关于、的方程组，解出即可得出答案；
(3)根据路程=速度×时间，结合点P、Q相遇，从而得出关于的一元一次方程，解出可得值，由Q的路程=Q的速度×Q的时间，可求出Q的路程，再结合CA、AB、BC的长度，即可找出P、Q第一次相遇时的位置．
【详解】
(1)点P与点Q的速度都是，
，
，
要使与全等，则需，
即，
．
(2)设点P的速度是，则点Q的速度是，
，，
，
，要使与全等，则需，，
即，
，
，
解得：，，
经过1s，点P的速度是，则点Q的速度是时，与全等．
(3)设经过秒点与点第一次相遇，
则，
，
在BC边上相遇，
相遇点到点B的距离为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1) 全等三角形的判定定理找出当时，与全等；(2) 根据全等三角形的性质找出，；(3) 根据路程=速度×时间，找出关于的一元一次方程．【来源：21·世纪·教育·网】
1．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】A
【分析】
通过HL定理判断三角形全等即可；
【详解】
∵，，，，
∴，
同理可证明．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了利用HL定理判断三角形全等，准确分析判断是解题的关键．
2．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【分析】
过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论．
【详解】
解：过E作EF⊥AD于F，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴R ( http: / / www.21cnjy.com )t△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故选A
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
过M作ME⊥AD于E，由角平分线的性质得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，由三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；由角平分线的性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②；由Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），得出CD=DE，由Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），得出AB=AE，即可判断③；由全等三角形推出S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，即可判断④．
【详解】
解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴MC⊥DC，
∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME，
∴点M为BC的中点，故②正确；
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AB=AE，
∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正确；
∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，
∴S△ADM=S梯形ABCD，故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质和判定等知识；熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是___．
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②③④
【分析】
过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】
解：①过点作于，
平分， ，，
，
∵平分，，，
∴，
，
又∵，，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵，，
∴，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
，，
，
，
，②正确；
③∵，，
∴，，
平分，平分，
，，
，
即，③正确；
④由②可知，，
，，
，故④正确，
故答案为：①②③④．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，任意画一个∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AD=AE；④PD=PE；⑤BD+CE=BC；其中正确的结论为__________．（填写序号）
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【答案】①②④⑤
【分析】
由三角形内角和定理和角平分线得出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF=PG=PH，故∠AFP=∠AGP=90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG=120°，故∠DPF=∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD=PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH=BD+DF，CH=CE-GE，再由DF=EG可得出BC=BD+CE，⑤正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠BAC）=（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，①正确；
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴PF =PH，PG=PH，
∴PF=PG，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF=PG=PH，
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD=PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD=AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查的是角平分线的判定和性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
A
B
C
D
E
l
A
B
C
D
A
B
C
D
M
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A
B
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A
B
C
D
P
F
A
B
C
D
E
F
N
H
M
模块三：直角三角形性质的推论
知识精讲
A
B
C
D
E
H
A
B
C
D
N
M
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第20讲 直角三角形的全等判定及性质
直角三角形是特殊的三角形，本节 ( http: / / www.21cnjy.com )主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．21世纪教育网版权所有
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模块一：直角三角形全等的判定
1、 直角三角形全等的判定方法：
（1） 直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；
（2） 直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．
【例1】 如图，△ABC中，∠ABC、∠EA ( http: / / www.21cnjy.com )C的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）21·cn·jy·com
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①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】 如果两个三角形中两条边分别相等，且相等的一对边上的高也相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）21教育网
A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等
【例3】 下列命题中，正确的个数是( )
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3 B．2 C．1 D．0
【例4】 如图，，，点E是上的一点，且，．求证：．
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【例5】 已知：如图，在中，，BD平分，于点E，若与的面积比为，求与的面积之比．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例6】 如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例7】 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．21cnjy.com
（1）求证：DC＝DE；（本小题要求写出每一步的推理依据）
（2）求证：△CDF≌EDB；
（3）求∠ADF的度数．
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【例8】 在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，若BD>CE，试问：【来源：21·世纪·教育·网】
（1） AD与CE的大小关系如何 请说明理由；
（2） 线段BD、DE、CE之间的数量关系如何 你能说明清楚吗 试一试．
【例9】 已知：如图∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线DN交与点D，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F．21·世纪*教育网
（1）求证：BE=CF．
（2）若△ABD的面积为10cm2，△ACD的面积为6cm2，求△CDF的面积．
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【例10】 如图，四边形是堤坝的横截面，其中，且于点E，于点F，，问与是否相等？为什么？
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模块二：直角三角形的性质
2、 两个性质：
（1） 直角三角形的两个锐角互余；
（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．
【例11】 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D：
（1）若∠B=55°，则∠A=________；
（2）若∠B∠A=10°，则∠B=_________；
（3）图中与∠A互余的角有_________，与∠A相等的角有_________．
【例12】 如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点．求证：MN⊥BD．2-1-c-n-j-y
【例13】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设∠A=y，∠DFC=x，21*cnjy*com
（1）求证：∠CDB=∠CEB；
（2）用x的代数式表示y．
【例14】 如图中，AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，，P是CF 中点． 求证：（1）；（2）．
【例15】 已知，如图，在△ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、M．【来源：21cnj*y.co*m】
求证：MN是线段EF的中垂线．
3、 推论：
（1） 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；
（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【例16】 △ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=________；
（2）△ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角∠BAC=_______．
【例17】 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为__________ ( http: / / )．
【例18】 已知：如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：．
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．75° B．60° C．55° D．45°
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C．垂直平分 D．
4．如图，AE是∠CAM的 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝_____°．【版权所有：21教育】
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5．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与，E、F分别是、的中点，可证得__________，理由是__________，于是点G是__________的中点．
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6．如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件_________．（填写一个你认为适当的条件即可）
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7．如图，中，是边的垂直平分线．若的平分线与交于点G，连结，试探究与满足的等量关系，并证明你的结论．21教育名师原创作品
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8．如图．在△ABC中，，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角的平分线于点D，垂足为，垂足为F．求证：．21*cnjy*com
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1．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=CE．求证：．
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2．如图所示，在中，，，，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）．
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（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间与全等？请说明理由．
（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．
（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．
1．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
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A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥C ( http: / / www.21cnjy.com )D，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是___．
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP．
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5．如图，任意画一个∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AD=AE；④PD=PE；⑤BD+CE=BC；其中正确的结论为__________．（填写序号）2·1·c·n·j·y
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模块三：直角三角形性质的推论
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