第一章 1.3.2 简单的逻辑联结词(2)

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1．3．2 简单的逻辑联结词(2)
1．理解“或”、“且”、“非”的含义．
2．会判断复合命题的真假．
3．根据命题的真假确定变量的取值范围．
1．若“p∧q”为真，则 p，q 必为________；若“p∧q”为假，
则 p，q 必有一个为__________．
2．若“p∨q”为真，则 p，q 必有一个为________；若“p ∨q”
为假，则 p，q 必为__________．
3．“ p ”形式的命题与命题 p 真假________．
注意：“ p ”形式的命题叫命题的否定，注意将其与否命
题进行区别．
真
假
真
假
相反
【要点】命题的否定与否命题的区别与联系．
【剖析】命题的否定与否命题是两个不同的概念，它们之
间的区别与联系如下：
(1)区别．
①概念：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否
命题则是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题；
②构成：对于“若 p，则 q”的形式的命题，其否定一般为
“若 p，则 q ”，也就是不改变条件，只否定结论；而其否命
题则为“若 p ，则 q ”，既否定条件，又否定结论；
③真值：命题的否定的真值与原来的命题的真值相反，而
否命题的真值与原命题无关．
(2)联系．
它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是
一样的．
题型1 由复合命题的真假判定简单命题的真假
例1：若“p∨q”为假命题，则(
)
A．命题“ p ”与“ q ”的真值不同
B．命题“ p ”与“ q ”至少有一个是假命题
C．命题“ p ”与“q”的真值相同
D．命题“ p ”与“ q ”都是真命题
思维突破：逻辑“或”的真假关系是全假为假，逻辑“且”
的真假关系是全真为真，逻辑“非”的真假关系相反．
答案：D
【变式与拓展】
1．设 p，q 是两个命题，则复合命题“p∨q”为真， “p∧q”
为假的充要条件是(
)
C
A．p，q 中至少有一个真
B．p，q 中至少有一个假
C．p，q 中有且只有一个真
D．p 真，q 假
解析：∵p∧q 为假，∴p，q 至少有一个假．又∵p∨q 为
真，∴p，q 至少有一个真．因此，p，q 有且只有一个真．反过
来，当 p，q 有且只有一个真时，“p∨q”为真，“p∧q”为假．
故选 C.
答案：A
思维突破：若 A B，则 A 是 B 的充分条件，若 A?B，则
A 是B 的充分不必要条件．
A
题型3 利用命题的真假求参数的取值范围
例3：设有两个命题：p：关于 x 的不等式 x2＋2ax＋4>0 对
一切 x∈R 恒成立，q：函数 f(x)＝－(5－2a)x 是减函数．若 p∨q
是真命题，p∧q 是假命题，求实数 a 的取值范围．
思维突破：解决这类问题时，应先根据题目条件，判断每
一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)，然后再求出每个
命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情
况，求出参数的取值范围．
【变式与拓展】
3．已知 p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0， p 是 q
的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围．
答案：2≤m≤4
题型 4 反证法
例4：证明：已知 x，y∈R，且 x＋y>2，则 x，y 中至少有
一个大于 1.
思维突破：要证原命题为真命题，即证其命题的否定为假
命题，这就是反证法．反证法的步骤为：
①作出反设(即否定结论)变为条件；
②结合已知条件证明与结论相反的所有情况都不成立；
③得出原结论一定成立．
证明：(用反证法)假设 x，y 均不大于 1，即 x≤1 且 y≤1，
则 x＋y≤2，
这与已知条件 x＋y>2 矛盾．
∴x，y 中至少有一个大于 1.