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第22讲几何证明章节综合复习（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．65°
2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
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A．5 B． C．4 D．3
3．将一个含角的直角三角板与一个直角如图放置，，，点在直尺边上，点在直尺边上，交于点，若，，则的长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B．8 C． D．
4．如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，cm，则等于（ ）
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A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
5．如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB ( http: / / www.21cnjy.com )上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
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（1）作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；
（2）以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；
（3）连接
下列说法不正确的是( )
A． B．
C．点是的外心 D．
7．如图，点O为直线AB上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在等腰直角ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD＝AC，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG∥DF交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（ ）www-2-1-cnjy-com
①∠BCD＝∠CAE；②点G为AC中点；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤．
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．下列命题：①若|a|> ( http: / / www.21cnjy.com )|b|，则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．以上命题的逆命题是真命题的有（ ）21教育网
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列命题中是真命题的是（ ）
A．调查西双版纳州中学生对热带动植物资源的知晓程度，适合采用全面调查（普查）的方式
B．的平方根是±4
C．对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角
D．两条直线均垂直于第三条直线，那么这两条直线互相垂直
二、填空题
11．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）21cnjy.com
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12．以下四个命题：①用换元法解分式方程+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y－2＝0；②二次函数y＝ax2－2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1－1|＞|x2－1|，则a（y1－y2）＞0;③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2r sin54°．其中正确的命题的序号为_____________21*cnjy*com
13．某学校举办科技节活动，有甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：【来源：21cnj*y.co*m】
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．
14．证明“若，则．”是假命题，可举出反例：_________．
15．如图，中，，，，于点，垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为__________．
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16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB＝5，AC＝3，则AE＝___．21·世纪*教育网
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17．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是______．
18．已知：△ABC，DE垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分BC边，∠BAC外角平分线与DE交于E，过E作EF垂直直线AB于F．若AF＝2，AB＝3，那么AC长是___．21·cn·jy·com
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19．已知，在中，，，，则的面积为 __．
20．在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为___．【出处：21教育名师】
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三、解答题
21．如图，在Rt中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
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（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．2·1·c·n·j·y
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（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．【来源：21·世纪·教育·网】
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
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24．（1）①在图1中画出与关于直线成轴对称的；
②的面积为______．
（2）如图2，已知，在中，，，用无刻度的直尺和圆规在边上作一点，使到的距离等于的长；若，则的面积______．2-1-c-n-j-y
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25．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．www.21-cn-jy.com
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题
（2）写出一个真命题，并证明．
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第22讲 几何证明章节综合复习（教师版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【详解】
分析：求出∠3即可解决问题；
详解：如图，
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∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
∴∠2=∠3=55°，
故选C．
点睛：此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
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A．5 B． C．4 D．3
【答案】B
【详解】
试题分析：大正方形的面积为：4×ab＋1＝2ab＋1＝2×6＋1＝13，
所以大正方形的边长为．
故选B．
3．将一个含角的直角三角板与一个直角如图放置，，，点在直尺边上，点在直尺边上，交于点，若，，则的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
先由平行线的性质可得∠DAB＝∠ABP＝15°，根据三角形内角和定理得到∠CAB＝60°，∠CAD＝∠CAB ∠DAB＝45°，那么△ACD是等腰直角三角形，从而求出AD＝AC＝8．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：由题意可得，MN∥PQ，
∴∠DAB＝∠ABP＝15°，
∵∠CAB＝180° ∠C ∠ABC＝180° 90° 30°＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB ∠DAB＝60° 15°＝45°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．21*cnjy*com
4．如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，cm，则等于（ ）
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A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
【答案】A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质得到∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质解答．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝30°，
∵在RtAEC中，∠AEC＝30°，cm，
∴AE＝2AC＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB ( http: / / www.21cnjy.com )上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①根据直角三角形两角互补的性质即可 ( http: / / www.21cnjy.com )进行解答；②由于BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，利用互余关系，故可得出结论；③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，可知此小题错误；④由HL证明△BCD≌△BED可得出结论．
【详解】
解：①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠DBA，
∵∠BCD=∠CFB=90°，利用互余关系，得∠BGF=∠BDC=∠CGD，
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴BC=BE，故此小题正确．
故①②④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
6．如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
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（1）作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；
（2）以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；
（3）连接
下列说法不正确的是( )
A． B．
C．点是的外心 D．
【答案】D
【详解】
分析：根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；21教育网
详解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD=AB，
∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=AB2，
故A、B、C正确，
故选D．
点睛：本题考查作图-基本作 ( http: / / www.21cnjy.com )图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，点O为直线AB上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余 ( http: / / www.21cnjy.com )角；从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．依据余角的定义以及角平分线的定义，即可得到正确结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：①若OD平分∠BOE，则∠BOD＝∠DOE，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠DOE＝90°，
又∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个，
故①正确；
②若OC平分∠AOE，则∠AOC＝∠EOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB，
∴OD平分∠BOE，
故②正确；
③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE不一定成立，
故③错误；
④若OE平分∠BOC，则∠BOE＝∠BOC＝（180° ∠AOC）＝90° ∠AOC，
又∵∠DOB＝90° ∠AOC，
∴∠DOE＝∠BOE ∠BOD＝（90° ∠AOC） （90° ∠AOC）＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE，
故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了余角和补角以及角平分线的定义，余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．【出处：21教育名师】
8．如图，在等腰直角ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD＝AC，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG∥DF交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠BCD＝∠CAE；②点G为AC中点；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质以及等角的余角对①做出判断；利用ASA得出△BCD≌△BAF，从而对③④做出判断；根据平行线的性质和等腰三角形的性质对②做出判断；根据可判断⑤．
【详解】
解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，
∴∠BCD＋∠CFE＝90°，CF＝DF，
∵∠CBA＝90°，
∴∠DAE＋∠BFA＝90°，
∵∠CFE＝∠BFA，
∴∠BCD＝∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，
故①正确；
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°，
∵∠BCD＝∠DAE，
∴△BCD≌△BAF（ASA），
∴BD＝BF，CD＝FA，
∵AE是△ACD的中线，
∴CD＝FA＝2DE，
故③正确；
∵CB＝BF＋CF，CF＝DF，BF＝BD，
∴AB＝BD＋DF，
故④正确；
∵BD＝BF，∠DBC＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
∵BG∥DF，
∴∠ABG＝∠BDF＝45°，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
∵BA＝BC，
∴点G为AC中点，
故②正确；
由图可知
故⑤不正确，
故正确的有①②③④，共计4个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．下列命题：①若|a|>|b|， ( http: / / www.21cnjy.com )则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．以上命题的逆命题是真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据逆命题的定义，原命题的题设做为结论，原命题的结论做为题设，求出原命题的逆命题，进而判断即可．
【详解】
解：①若|a|＞|b|，则a＞b逆命题是若a＞b，则|a|＞|b|，如果a=1，b=-3，则不成立，是假命题；
②若a+b=0，则|a|=|b|逆命题是若|a|=|b|，则a+b=0，也可能a=b，是假命题；
③等边三角形的三个内角都相等逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题；
④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；
故选C．
【点睛】
主要主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．下列命题中是真命题的是（ ）
A．调查西双版纳州中学生对热带动植物资源的知晓程度，适合采用全面调查（普查）的方式
B．的平方根是±4
C．对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角
D．两条直线均垂直于第三条直线，那么这两条直线互相垂直
【答案】C
【分析】
根据抽样调查和全面调查、平方根的概念、对顶角的概念、平行线的判定定理判断即可．
【详解】
A、调查西双版纳州中学生对热带动植物资源的知晓程度，适合采用抽样调查（抽查）的方式，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、，4的平方根是±2，的平方根是±2，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角，本选项说法是真命题，符合题意；
D、两条直线均垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题
11．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）
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【答案】20
【分析】
要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】
解：如图是其侧面展开图：AD==16（m），
AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），
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在Rt△ADE中，AE=（m）．
故他滑行的最短距离约为20m．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
12．以下四个命题：①用换元法解分式方程+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y－2＝0；②二次函数y＝ax2－2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1－1|＞|x2－1|，则a（y1－y2）＞0;③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2r sin54°．其中正确的命题的序号为_____________
【答案】②③
【分析】
根据分式方程的求解、二次函数的性质、圆锥侧面展开图、圆内接正多边形的性质判断即可；
【详解】
设＝y，原方程可化为，整理得y2-y+2＝0，故①错误；
二次函数y＝ax2－2ax+1的对称轴是，
当时，如图，
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当时，，
此时，，
∴，
当时，同理可得，故②正确；
设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，
根据题意可得：，
则，
由，
得到，
∴，即，
∴，
∴它的母线长是，故③正确；
根据圆内接正五边形的性质和垂径定理可得，
∴，
∴，故④错误；
故答案是②③．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，结合二次函数的性质、圆内接正多边形的性质、弧长的计算、解直角三角形的知识点计算是解题的关键．
13．某学校举办科技节活动，有甲、乙 ( http: / / www.21cnjy.com )、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．
【答案】丁
【分析】
先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．
【详解】
解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，
④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，
即获得一等奖的团队是：丁；
故答案为：丁．
【点睛】
本题考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键．
14．证明“若，则．”是假命题，可举出反例：_________．
【答案】答案不唯一，例如当，但
【分析】
可根据、的正负性来考虑即可，例如用、来进行判断即可．
【详解】
反例：取，，有，但．
故答案为：，，，但．
【点睛】
本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假 ( http: / / www.21cnjy.com )命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论．
15．如图，中，，，，于点，垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为__________．
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【答案】6
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到AD＝6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度＝PB＋PD的最小值，即可得到结论．
【详解】
解：如图所示：
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∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．21·世纪*教育网
【点睛】
本题考查了轴对称 最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长度＝PB＋PD的最小值是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB＝5，AC＝3，则AE＝___．
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【答案】4
【分析】
连接BD，CD，由角平分线的性质易证DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．由线段垂直平分线的性质易得BD＝CD．即可利用“HL”证明，即得出BE＝CF．利用“AAS”证明△AED≌△AFD，即得出AE＝AF．设BE＝x，则CF＝x，由题意易得出等式，解出x即可求出AE的长．
【详解】
解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
∴在与中，，
∴，
∴BE＝CF，
∴在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB-BE，AF＝AC+CF，
∴，
解得：x＝1，
∴BE＝1，
∴AE＝AB-BE＝5-1＝4，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：4．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．作出辅助线是解答本题的关键．
17．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是______．
【答案】底边的垂直平分线（底边的中点除外）
【分析】
根据等腰三角形的性质，即已知等腰三角形的底边时，则第三个顶点到底边两个端点的距离相等，且不在底边上，结合线段的垂直平分线即可求解．www-2-1-cnjy-com
【详解】
∵线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等，
∴底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线（底边的中点除外）．
故答案为底边的垂直平分线（底边的中点除外）．
【点睛】
此题考查了点的轨迹问题，熟悉等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．
18．已知：△ABC，DE垂直平分B ( http: / / www.21cnjy.com )C边，∠BAC外角平分线与DE交于E，过E作EF垂直直线AB于F．若AF＝2，AB＝3，那么AC长是___．
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【答案】7
【分析】
过E作EN⊥AC于N，并 ( http: / / www.21cnjy.com )连接EB、EC，先证明△FAE≌△NAE得到EF＝EN，AF＝AN，再证明Rt△EFB≌Rt△ENC，得到FB＝NC，即可求解.
【详解】
解：过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC．
∵EA平分∠FAC，
∴∠EAF＝∠EAN，
∵EF⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EFA＝∠ENA＝90°，
在△FAE和△NAE中，
，
∴△FAE≌△NAE（AAS），
∴EF＝EN，AF＝AN，
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
在Rt△EFB和Rt△ENC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△ENC（HL），
∴FB＝NC，
∴AC＝AN+NC＝AF+BF＝2AF+AB＝4+3＝7，
故答案为：7．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．已知，在中，，，，则的面积为 __．
【答案】2或14#14或2
【分析】
过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
【详解】
解：过点作边的高，
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中，，，
，
在中，，
，
①是钝角三角形时，
，
；
②是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
20．在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为___．
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【答案】
【分析】
在的左侧作等边三角形，连接、、、，再证明 可得 再利用时，最短，从而可得答案.
【详解】
解： 在的左侧作等边三角形，连接、、、，
则
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则，
故点、关于对称，
则，，
均为等边三角形，
，，
，
，
，
当时，最小，
由
故，
故的长度为，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键.21世纪教育网版权所有
三、解答题
21．如图，在Rt中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
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（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）；（2）1或；；（3）2或或
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：BP=3tcm，∠B≠90°，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；21cnjy.com
（3）当是等腰三角形，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
【详解】
解：（1）∵在中，，，，
∴BC=，
（2）由题意可得：BP=3tcm，∠B≠90°
当∠APB=90°时，易知点P与点C重合
∴BP = BC
即3t=3，
∴
当∠PAB=90°时，如下图所示
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∴CP=BP－BC=（3t－3）cm
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2
∴42＋（3t－3）2=（3t）2－52
解得：t=
综上：当为直角三角形时，t=1或；
（3）当是等腰三角形
当AB=AP时，如下图所示
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∵AC⊥BC
∴BP=2BC
即3t=2×3=6，
∴t=2；
当AB=BP时，如下图所示
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∴3t=5，
∴；
当AP=BP时，如下图所示
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则CP=BC－BP=（3t－3）cm，AP=BP=3t，
在Rt△APC中，
即
解得：t=．
综上：当为轴对称图形时，t=2或或．
【点睛】
此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．21·cn·jy·com
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（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．www.21-cn-jy.com
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
【答案】（1）②；（2）；（3）证明见教师
【分析】
(1)根据a，b，c是Rt△ABC的三边长，分别列出等式然后判断直角是否为∠C，即可得出结果；
(2) 将x=-1代入“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得：，根据△ABC的周长为2+2，得到，代入，求值即可；
(3) 计算 再利用可得出 即可得出结果．
【详解】
解：（1）①3x2+4x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且b为直角边，
3x2+4x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
（2） x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得：，
又△ABC的周长为2+2，
，
；
（3）证：ax2+cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，方程的解，一元二次方程根的判别式等知识，运用整体思想进行变形是解题的关键．【版权所有：21教育】
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
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【答案】（1）见教师；（2）
【分析】
（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明；
（2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案．
【详解】
（1）证明：∵,
∴,
又∵
∴
∴
又∵,
∴点在的角平分线上
∴平分
（2）解：∵
∴
又∵，，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【点睛】
本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键．
24．（1）①在图1中画出与关于直线成轴对称的；
②的面积为______．
（2）如图2，已知，在中，，，用无刻度的直尺和圆规在边上作一点，使到的距离等于的长；若，则的面积______．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】（1）①见教师；②8.5；（2）
【分析】
（1）①分别作出点A、B、C关于直线MN的对称点，再顺次连接可得；
②利用割补法求解可得；
（2）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得点D，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可求出△ACD的面积．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）①如图1，△AB′C′即为所求；
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②△ABC的面积为：=8.5；
（2）如图2，点D即为所求．
∵DF=BD=3，
则△ACD的面积为：．
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【点睛】
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及割补法求三角形的面积．
25．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题
（2）写出一个真命题，并证明．
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【答案】（1）3个；（2）见教师
【分析】
（1）直接利用命题的定义进而得出答案；
（2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案．
【详解】
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①② ③；②③ ①；①③ ②．21*cnjy*com
（2）以上3个命题都是真命题．
(i)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴m∥n；
(ii)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠BDC；
(iii)∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴b∥c，
∴∠AFE=∠FED．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
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