第二章 2.3.1 双曲线及其标准方程

(共16张PPT)
2．3 双曲线
2．3．1
双曲线及其标准方程
1．了解双曲线标准方程的推导过程．
2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程．
3．掌握双曲线的定义与标准方程．
1．双曲线的定义．
平面内到两定点 F1，F2 的距离的差的___________________
____________________的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫
做双曲线的________，
两焦点之间的距离叫做双曲线的________．
绝对值是常数
(小于|F1F2|且大于0)
焦点
焦距
2．双曲线的标准方程．
(1)焦点在 x 轴上，标准方程为______________________，
焦点坐标为______________，a，b，c 的关系是____________．
(2)焦点在 y 轴上，标准方程为________________________，
焦点坐标为______________，a，b，c 的关系是____________．
(c,0)，(－c,0)
c2＝a2＋b2
(0，c)，(0，－c)
c2＝a2＋b2
【要点1】如何理解双曲线的定义？
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用
“三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这一
条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为
双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中
应为“差的绝对值”．
①当||PF1|－|PF2||＝0 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平
分线；
②当 0<||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|时，点 P 的轨迹是双曲线；
③当|PF1|－|PF2|＝2a 或|PF1|－|PF2|＝－2a 时，点 P 的轨迹
只是双曲线的其中一支；
④当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，点 P 的轨迹是以 F1，F2
为端点向外的两条射线；
⑤当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，点 P 的轨迹不存在．
【要点2】双曲线的定义中“差的绝对值”中的“绝对值”能
否去掉？
【剖析】不能去掉，若去掉绝对值，点的轨迹就成为双曲
线的一支．
【要点3】双曲线中 a，b，c 的关系．
【剖析】双曲线 a，b，c 的关系是 c2＝a2＋b2，a，b，c 恰
好构成一个以 c 为斜边的直角三角形，如图 2－3－1；而椭圆a，
b，c 的关系是 a2＝b2＋c2，a，b，c 恰好构成一个以 a 为斜边的
直角三角形，如图 2－3－2.
图 2－3－1
图 2－3－2
题型 1 双曲线定义及应用
例1：AB 是某平面上一定线段且|AB|＝3，点 P 是该平面内
)
A．圆
B．双曲线的一支
C．椭圆的一部分
D．抛物线
答案：B
【变式与拓展】
1．“ab＜0”是方程 ax2＋by2＝1 表示双曲线的(
)条件．
C
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
题型2 求双曲线的标准方程
例2：已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(－13,0)，F2(13,0)，
双曲线上一点 P 到 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 10，求双曲
线的标准方程．
思维突破：求解双曲线的标准方程，只要确定焦点所在坐标
轴及 a，b的值即可，通常由定义可以确定2a，根据c2＝a2 ＋b2，
基本量 a，b，c 中知道其中两个，可求出第三个．
【变式与拓展】
2．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为 10，则它的
标准方程为________________．
题型 3 含有参数的双曲线方程
是(
)
A．k<2 或 k>5 B．2C．k>5 或－25 或 k>2
思维突破：根据双曲线的标准方程可知，需要(|k|－2)·(4－
k)<0，联立不等式组求得 k 的范围．
答案：C
＋
【变式与拓展】
4．如果方程
x2 y2
m＋1 m＋2
＝1 表示双曲线，那么 m 的取值
范围是__________．
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