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第13讲 函数的概念及表示（学生版）
函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本 ( http: / / www.21cnjy.com )章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质． 例1．在式子①，②，③，④⑤中，y是x的函数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( http: / / www.21cnjy.com / )函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值； （3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数教师式．2．函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．填空：（1）在正方形的周长公式中，a是自变量，_______是________的函数，_____是常量；（2）面积是的正方形地砖边长为（cm），S与之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．（3）圆的周长C与半径r之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子，下列说法中正确的是 （ ） A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量 C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量 已知变量x与y的四种关系：①y＝|x|；②|y|＝x；③2x2﹣y＝0；④x+y2＝1，其中y是x的函数的式子有_____个．下列说法正确的是：（ ）A．变量，满足，则是的函数；B．变量，满足，则是的函数；C．变量，满足，则是的函数；D．变量，满足，则是的函数．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间在下列各备选答案中，不是函数关系的是（ ）A．y=2x2-3x+5B．下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的关系．月份m123456789101112平均气温T（℃）3.85.19.315.420.224.328.628.023.317.112.26.3
C．下图中的图象表示骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )D．
( http: / / www.21cnjy.com / )求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4）．将写成的形式，并求，的值．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行 ( http: / / www.21cnjy.com )一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确结论的个数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4如图，一个矩形（向左右方向）推拉窗，窗高1.55米，则活动窗扇的通风面积S（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是__．如图，△ABC与正方形BDEF，其中∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，AC=BC=BD=8，且BC与BD均在直线L上，将△ABC沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t，△ABC与正方形BDEF在移动的过程中重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式，并写出定义域 已知等腰三角形周长为24cm，若腰长为x，底边长为y，求y关于x的函数关系式及定义域；若底边长为x，腰长为y，求y关于x的函数关系式及定义域．购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函教，并写出表示函数与自变量关系的式子．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝．若表示△APB的面积．（1）求与之间的函数关系式；（2）求自变量的取值范围． ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.函数中，自变量的取值范围是（ ）A． B．且 C． D．且2．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（ ）A．常量，常量 B．变量，变量C．常量，变量 D．变量，常量3．以下说法中，正确的是（ ）．A．画图象时，只要将描好的点顺次用线段连接即可B．函数的图象经过一、三象限C．任何一个函数的图象至少要经过两个象限D．对于一个确定的函数图象，一条平行于y轴的直线至多与它有一个交点4．为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展 ( http: / / www.21cnjy.com )之路，某电视台记者乘汽车赴360km外的新农村进行采访，路程的前一部分为高速公路，后一部分为省道．若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．汽车在高速公路上的行驶速度为180km/h B．省道总长为90kmC．汽车在省道上的行驶速度为60km/h D．该记者在出发3.5h后到达采访地5．如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．1 B．2 C．3 D．46．甲、乙二人从学校出发去科技馆， ( http: / / www.21cnjy.com )甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确结论的个数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．47．下列各图能表示是的函数的是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )1．一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化过程中自变量是 ___，因变量是 ___．2．小明某天离家，先在A处办事后，再 ( http: / / www.21cnjy.com )到B处购物，购物后回家．下图描述了他离家的距离s（米）与离家后的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）A处与小明家的距离是_________米，小明在从家到A处过程中的速度是________米/分；（2）小明在B处购物所用的时间是_______分钟，他从B处回家过程中的速度是________米/分；（3）如果小明家、A处和B处在一条直线上，那么小明从离家到回家这一过程的平均速度是_________米/分．3．小红参加一次象棋比赛，规定胜一局得 ( http: / / www.21cnjy.com )2分，平一局得1分，负一局得0分，她一共比赛了20局，得了30分，设她胜了x局，平了y局，则y与x之间的函数关系式是______，其中x的取值范围是______．4．已知函数，当时，_______；当时，_______．5．研究发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：岩层的深度h/km123456… 岩层的温度t/℃5590125160195230…根据以上信息，回答下列问题：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？(3)估计岩层10km深处的温度是多少？6．在烧开水时，水温达到就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：时间（分） 温度（P） （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移分钟，水的温度如何变化？（4）时间为分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为分钟时，水的温度吗？7．已知一个圆柱的底面半径是，当圆柱的高变化时，圆柱的体积也随之变化．（1）在这个变化过程变量、中，自变量是______，因变量是______；（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式；（3）当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由______变化到______．8．小亮现已存款100元．为 ( http: / / www.21cnjy.com )赞助“希望工程”，他计划今后三年每月存款10元．存款总金额y（单位：元）将随时间x（单位：月）的变化而改变．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函教教师式．9．物体从某一高度落下，已知下落的高度和下落的时间的关系是：，填表表示物体在前下落的高度．1234510．假设圆锥的高是6cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积随着底面半径而变化，（圆锥的体积公式：V＝πr2h，其中r表示底面半径，h表示圆锥的高）（1）在这个变化过程中，自变量是______________，因变量是_____________．（2）如果圆锥底面半径为r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r（cm）的关系式为_________．（3）当r由1cm变化到10cm时，V由__________cm3变化到__________cm3. ( http: / / www.21cnjy.com / )11．购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函教，并写出表示函数与自变量关系的式子．12．下列式子中的y是x的函数吗？为什么？（1）； （2）； （3）．请再举出一些函数的例子．
知识结构
知识精讲
A
C
B
D
E
F
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第13讲 函数的概念及表示
函数是描述变化过程中的数量 ( http: / / www.21cnjy.com )关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质． 例1．在式子①，②，③，④⑤中，y是x的函数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判断．【详解】解：在①，②，③，④中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数；⑤对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数；故选：D．【点睛】本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，两个变量为函数关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值； （3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数教师式．2．函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．填空：（1）在正方形的周长公式中，a是自变量，_______是________的函数，_____是常量；（2）面积是的正方形地砖边长为（cm），S与之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．（3）圆的周长C与半径r之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．【答案】（1），a，4； （2），； （3），，r和C．【教师】函数的概念，变量和常量的理解．【总结】考察函数的概念．在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子，下列说法中正确的是 （ ） A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量 C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量 【答案】D【教师】在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量．匀 速运动中速度v不变．【总结】考察函数中变量和常量的理解．已知变量x与y的四种关系：①y＝|x|；②|y|＝x；③2x2﹣y＝0；④x+y2＝1，其中y是x的函数的式子有_____个．【答案】2【分析】利用函数定义可得答案．【详解】y是x的函数的式子有：①y＝|x|；③2x2﹣y＝0，共2个，故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数的概念，正确理解函数的概念是解题的关键．下列说法正确的是：（ ）A．变量，满足，则是的函数；B．变量，满足，则是的函数；C．变量，满足，则是的函数；D．变量，满足，则是的函数．【答案】A【分析】解答此题，首先要了解函数的几个特点：①函数 ( http: / / www.21cnjy.com )表示的是一个变化的过程，②必须有两个变量，③对于每一个自变量的值，因变量有且只有一个值与之对应．对于自变量的取值范围，需要满足两个条件：需要使含自变量的代数式有意义，需要使实际问题有意义；可根据上面提到的几个函数特点来进行判断．【详解】解：A、有两个变量，且，x的每一个值，有且只有一个y值与之相对应，符合函数的特点，故A正确；B、在|y|=x中，x的每个值，y都有两个值与之对应（0除外），不符合函数的特点，故B错误；C、当x为正数时，x的每个值，y都有两个值与之对应；当x为负数时，式子无意义，不符合函数的特点，故C错误；D、x的每个值，y都有两个值与之对应，不符合函数的特点，故D错误；故选A．【点睛】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间【答案】C【分析】在一个变化过程中，存在两个变量 对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，我们就说：是的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案.【详解】解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故不符合题意；正方形的周长与面积，符合函数定义，故不符合题意；等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故符合题意；速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键.在下列各备选答案中，不是函数关系的是（ ）A．y=2x2-3x+5B．下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的关系．月份m123456789101112平均气温T（℃）3.85.19.315.420.224.328.628.023.317.112.26.3C．下图中的图象表示骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )D．
( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】D【分析】在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，就说变量是变量的函数，其中是自变量，是因变量，利用函数的定义逐一判断即可得到答案.【详解】解：，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，故不符合题意；对于月平均气温的每一个值，月份都有唯一的数值与之对应，符合函数定义，故不符合题意；由图象可得：骑车时对于身体质量x（千克）的每一个值，热量消耗W（焦）都有唯一的值与之对应，符合函数定义，故不符合题意；由图象可得：对于变量x的每一个值，变量的值不一定唯一，不符合函数定义，所以不是的函数，故符合题意.故选：【点睛】本题考查的是函数的定义，理解函数的定义是解题的关键.求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【教师】函数定义域要注意分母不为0；被开方数非负；中底数不为0等情况．【总结】考察求函数的定义域的几种情况．将写成的形式，并求，的值．【难度】★★ 【答案】，，，，．【教师】，可得：，指的是当时所对应的函数值．【总结】考察的形式下的函数值的表示方法．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间 ( http: / / www.21cnjy.com )后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确结论的个数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．【详解】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，所以甲的运动速度为：720÷9=80（米/分），当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），运动距离为：15×80=1200（m），∴乙的运动速度为：1200÷6=200（米/分），∴200÷80=2.5，（故②正确）；当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；此时乙运动19-9=10（分钟），运动总距离为：10×200=2000（m），∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），故a的值为25，（故④错误）；∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（m），∴b=2000-1520=480，（故③正确）．故正确的有：①②③共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的图象，利用数形结合得出乙的运动速度是解题关键．如图，一个矩形（向左右方向）推拉窗，窗高1.55米，则活动窗扇的通风面积S（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是__．【答案】S=1.55b【分析】通风面积是拉开长度与窗高的乘积．【详解】解：活动窗扇的通风面积S（米2）与拉开长度b（米）的关系是S=1.55b．故答案为：S=1.55b．【点睛】本题考查了列函数关系式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．如图，△ABC与正方形BDEF，其中∠C=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC=BC=BD=8，且BC与BD均在直线L上，将△ABC沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t，△ABC与正方形BDEF在移动的过程中重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式，并写出定义域 【答案】．【教师】时，重合部分为直角梯形， 此时．【总结】考察根据图形的运动情况分类求函数关系式．已知等腰三角形周长为24cm，若腰长为x，底边长为y，求y关于x的函数关系式及定义域；若底边长为x，腰长为y，求y关于x的函数关系式及定义域．【答案】（1），定义域：；（2），定义域：． 【教师】（1），由三角形两边之和大于第三边，得：，即， 所以，又，得：，所以． （2）以及三角形两边之和大于第三边：，，， 又，所以．【总结】考察等腰三角形中求函数关系式的两种情况．购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函教，并写出表示函数与自变量关系的式子．【答案】常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y，．【分析】根据总价＝单价×数量，可得函数关系式．再根据函数的有关定义解答即可．【详解】解：由题意得：（x是正整数），y是x的函数，∴常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y．【点睛】主要考查了常量与变量．函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝．若表示△APB的面积．（1）求与之间的函数关系式；（2）求自变量的取值范围． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）0＜＜10【分析】（1）由图形可知△APB边BP上的高为AC，利用三角形的面积公式表示出y即可得到y与x之间的函数关系式．（2）结合点P的运动轨迹即可求出x的范围【详解】解：（1）∵BC＝10，CP＝x，∴PB＝10 x，∴S△APB＝×PB AC＝×（10 x）×6＝30 3x；（2）∵P点在BC上不与B、C重合，BC＝10，∴0＜x＜10．【点睛】本题考查了函数与几何知识的综合问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1.函数中，自变量的取值范围是（ ）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．【详解】解：由题意得：，，解得：且，故选：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．2．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（ ）A．常量，常量 B．变量，变量C．常量，变量 D．变量，常量【答案】C【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，所以5和y分别是常量，变量，据此判断即可．【详解】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是常量，变量． 故选C．【点睛】本题主要考查了常量与边量问题，要熟练掌握， ( http: / / www.21cnjy.com )解答此题的关键是要明确：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．3．以下说法中，正确的是（ ）．A．画图象时，只要将描好的点顺次用线段连接即可B．函数的图象经过一、三象限C．任何一个函数的图象至少要经过两个象限D．对于一个确定的函数图象，一条平行于y轴的直线至多与它有一个交点【答案】D【分析】根据函数图象上点的分布，确定函数图象的形状及函数图象的分布，从而可判断 根据函数的定义：对于的每一个值，与之对应的的值唯一，可判断 从而可得答案.【详解】解：画图象时，只要将描好的点顺次用线段连接即可，说法错误，因为函数的图象可能是直线，可能是曲线，可能是点组成的，故不符合题意；函数，＞，则函数图象经过第一象限与原点，故不符合题意；任何一个函数的图象不一定至少要经过两个象限，原说法错误，如：函数（＞）的图象就只在第一象限，故不符合题意；对于一个确定的函数图象，一条平行于y轴的直线至多与它有一个交点，说法正确，符合函数定义，故符合题意；故选：【点睛】本题考查的是函数的图象，函数的定义，熟练确定函数的图象的分布，函数定义的理解是解题的关键.4．为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发 ( http: / / www.21cnjy.com )展之路，某电视台记者乘汽车赴360km外的新农村进行采访，路程的前一部分为高速公路，后一部分为省道．若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．汽车在高速公路上的行驶速度为180km/h B．省道总长为90kmC．汽车在省道上的行驶速度为60km/h D．该记者在出发3.5h后到达采访地【答案】C【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．【详解】解：A、汽车在高速公路上的行驶速度 ( http: / / www.21cnjy.com )为180÷2＝90（km/h），故本选项错误；
B、省道总长为360 180＝180（km），故本选项错误；
C、汽车在省道上的行驶速度为（270 180）÷（3.5 2）＝90÷1.5＝60（km/h），故选项正确；
D、2＋（360 180）÷[（270 180）÷1.5]＝2＋3＝5h，故该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误．
故选：C．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．5．如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由图象可知，在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，再根据“路程，速度与时间”的关系逐一判断即可．【详解】解：①正确．在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，故小林的总路程比小明的总路程更短；②正确．小明游泳的速度是：；③正确，小林游泳的速度是：；两人第一次相遇时间为：，两人第一次与第三次相遇的时间间隔是：，小明游75米时小林游了50米；④正确．小林远离地超过20米的总时长为：；故选：．【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．甲、乙二人从学校出发去科技馆 ( http: / / www.21cnjy.com )，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确结论的个数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．【详解】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，所以甲的运动速度为：720÷9=80（米/分），当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），运动距离为：15×80=1200（m），∴乙的运动速度为：1200÷6=200（米/分），∴200÷80=2.5，（故②正确）；当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；此时乙运动19-9=10（分钟），运动总距离为：10×200=2000（m），∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），故a的值为25，（故④错误）；∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（m），∴b=2000-1520=480，（故③正确）．故正确的有：①②③共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的图象，利用数形结合得出乙的运动速度是解题关键．7．下列各图能表示是的函数的是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】A【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，能表示y是x的函数；B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；D、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；【点睛】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．1．一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化过程中自变量是 ___，因变量是 ___．【答案】年龄 身高 【分析】根据自变量与因变量的定义：自变量是 ( http: / / www.21cnjy.com )会引起其他变量发生变化的变量，是被操纵的；因变量是由一些变量变化而被影响的量，是被测定或被记录的；据此判断即可．【详解】解：∵随着年龄的增加，身高往往也在增长，
∴在这个变化的过程中自变量是年龄，因变量是身高．
故答案为：年龄、身高．【点睛】本题主要考查自变量与因变量，理解自变量以及因变量的定义是解决本题的关键．2．小明某天离家，先在A处办事后，再 ( http: / / www.21cnjy.com )到B处购物，购物后回家．下图描述了他离家的距离s（米）与离家后的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）A处与小明家的距离是_________米，小明在从家到A处过程中的速度是________米/分；（2）小明在B处购物所用的时间是_______分钟，他从B处回家过程中的速度是________米/分；（3）如果小明家、A处和B处在一条直线上，那么小明从离家到回家这一过程的平均速度是_________米/分．【答案】200 40 5 160 64 【分析】根据图象可得：5-10分钟小明在A处办事，15-20分钟小明在B处购物，20-25分钟为小明返回家途中，即可求解．【详解】解：（1）由图可知，x=5时小明到达A处，A处离家距离为200米；小明在从家到A处过程中的速度是200÷5=40（米/分）；（2）小明在B处购物所用的时间是20-15=5（分）；他从B处回家过程中的速度是800÷（25-20）=160（米/分），（3）小明往返所走路程为800×2=1600（米），往返所用时间为25分，所以小明从离家到回家这一过程的平均速度是1600÷25=64（米/分）．故答案为：（1）200，40；（2）5，160；（3）64．【点睛】本题考查函数与图象的结合，根据图象，解决实际问题，准确获取信息，找到题中各个点所对应坐标的实际意义是解题的关键．3．小红参加一次象棋比赛，规定胜一局得 ( http: / / www.21cnjy.com )2分，平一局得1分，负一局得0分，她一共比赛了20局，得了30分，设她胜了x局，平了y局，则y与x之间的函数关系式是______，其中x的取值范围是______．【答案】 且x为自然数 【分析】根据题意，由得分可得出答案．分2种情况，第一种是小红全胜，第二种根据得分，小红胜、平局存在，由方程组解出答案．【详解】解：①设小红胜了x局，平了y局，则负（20-x-y）局，由题意得：2x+y+0×(20-x-y)=30，2x+y=30，y=30-2x．②小红全胜，由题意得：30÷2=15根据得分，小红胜、平局存在，由题意得：，解得．故答案为：①y=30 2x，②10≤x≤15且x为自然数．【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数关系式，做题的关键是弄清题意之间的等量关系．4．已知函数，当时，_______；当时，_______．【答案】3 【分析】分别将和代入教师式，即可求解．【详解】解：当时，；当时， ，解得： ．故答案为：3； ．【点睛】本题主要考查了求函数的自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数教师式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．5．研究发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：岩层的深度h/km123456… 岩层的温度t/℃5590125160195230…根据以上信息，回答下列问题：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？(3)估计岩层10km深处的温度是多少？【答案】(1)上表反映了岩层的深度 ( http: / / www.21cnjy.com )h(km)与岩层的温度t(℃)之间的关系；其中岩层深度h(km)是自变量，岩层的温度t(℃)是因变量；(2)岩层的深度h每增加1km，温度t上升35℃，关系式：t＝35h+20；(3)当h＝10km时，t＝370℃．【分析】（1）直接利用常量与变量的关系得出自变量和因变量；（2）利用表格中数据进而得出答案；（3）直接利用（2）中函数关系式得出t的值．【详解】解：（1）上表反映了岩层的深度h（km）与岩层的温度t（℃）之间的关系；其中岩层深度h（km）是自变量，岩层的温度t（℃）是因变量；（2）岩层的深度h每增加1km，温度t上升35℃，关系式：t＝55+35（h﹣1）＝35h+20；（3）当h＝10km时，t＝35×10+20＝370（℃）．∴估计岩层10km深处的温度是370℃．【点睛】此题主要考查了函数关系式以及常量与变量，正确得出函数关系式是解题关键．6．在烧开水时，水温达到就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：时间（分） 温度（P） （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移分钟，水的温度如何变化？（4）时间为分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为分钟时，水的温度吗？【答案】（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的増加而增加，到时恒定；（3）时间推移分钟，水的温度增加，到分钟时恒定；（4）时间为分钟时，水的温度是，时间为分钟时，水的温度是．【分析】（1）在函数中，给一个变量a一个值，另一个变量y就有对应的值，则c是自变量，y是因变量，据此即可判断即可；（2）根据表格中数据得出水的温度变化规律即可；（3）运用表格中数据得出水的温度变化规律解答即可；（4）根据表格中数据得出8分钟时的水温，然后根据变化规律解答即可．【详解】解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；（4）由表格可知：时间为分钟时，水的温度为86℃；在9分钟时，水的温度为86+=93℃．【点睛】本题主要考查了常量与变量，自变量与因变量等知识点，根据表格中数据分别分析得出规律是解答本题的关键．7．已知一个圆柱的底面半径是，当圆柱的高变化时，圆柱的体积也随之变化．（1）在这个变化过程变量、中，自变量是______，因变量是______；（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式；（3）当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由______变化到______．【答案】（1），；（2）；（3），【分析】（1）利用函数的概念进行回答；
（2）利用圆柱的体积公式求解；
（3）分别计算出h＝3和6对应的函数值可得到V的变化情况．【详解】解：（1）在这个变化过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，自变量是h，因变量是V；
故答案为h，V；
（2）V＝π 32 h＝9πh；
（3）当h＝3cm时，V＝27πcm3；当h＝6cm时，V＝54πcm3；
所以当h由3cm变化到6cm时，V是由27πcm3变化到54πcm3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数教师式，也称为函数关系式．函数教师式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．8．小亮现已存款100元．为赞助“ ( http: / / www.21cnjy.com )希望工程”，他计划今后三年每月存款10元．存款总金额y（单位：元）将随时间x（单位：月）的变化而改变．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函教教师式．【答案】常量为100，10，变量为x，y，自变量为x，y是x的函数，函数教师式为（，x为整数）．【分析】根据“存款数=现有存款+每月的存款”，由每月的存款为10元，则x月的存款为10x元，继而可得出，从而求解．【详解】解：由题意得，存款总金额，常量为100，变量为x，y，自变量为x，y是x的函数，函数教师式为，（，x为整数）．【点睛】本题考查了根据实际问题抽象一次函数教师式的知识，属于基础题，注意理解函数中的变量，自变量及自变量的取值范围的计算．9．物体从某一高度落下，已知下落的高度和下落的时间的关系是：，填表表示物体在前下落的高度．12345【答案】4.9，19.6，44.1，78.4，122.5，见教师【分析】把所给定的的值代入，分别计算即可．【详解】解：把所给定的的值代入，得到的值，从左到右依次为：4.9，19.6，44.1，78.4，122.5，填表如下：123454.9 19.6 44.1 78.4 122.5 故答案为：4.9，19.6，44.1，78.4，122.5．【点睛】本题考查了二次函数在图表问题中的应用，解题的关键是会代自变量求函数值．10．假设圆锥的高是6cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积随着底面半径而变化，（圆锥的体积公式：V＝πr2h，其中r表示底面半径，h表示圆锥的高）（1）在这个变化过程中，自变量是______________，因变量是_____________．（2）如果圆锥底面半径为r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r（cm）的关系式为_________．（3）当r由1cm变化到10cm时，V由__________cm3变化到__________cm3. ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】（1）圆锥的底面半径，圆锥的体积；（2）V＝2πr2；（3）2π；200π.【分析】（1）圆锥的体积随着底面半径的变化而变化，于是圆锥的底面半径为自变量，圆锥的体积为因变量；
（2）由圆锥的体积公式：V＝π r2 h，h＝6，可得函数关系式；
（3）根据函数关系式，求出当r＝1cm和r＝10cm时的体积V即可．【详解】解：（1）由于圆锥的体积随之底面半径的变化而变化，因此圆锥的底面半径为自变量，圆锥的体积为因变量，
故答案为：圆锥的底面半径，圆锥的体积；
（2）当h＝6时，由圆锥的体积公式：V＝π r2 h可得，
由圆锥的体积公式：V＝π r2 h可得，
V＝2πr2，
故答案为：V＝2πr2；
（3）当r＝1cm时，V＝2π（cm3），
当r＝10cm时，V＝2π×102＝200π（cm3），
故答案为：2π，200π．【点睛】本题考查变量之间的关系，函数关系式，理解函数的意义，掌握圆锥的体积的计算方法是正确解答的前提．11．购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函教，并写出表示函数与自变量关系的式子．【答案】常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y，．【分析】根据总价＝单价×数量，可得函数关系式．再根据函数的有关定义解答即可．【详解】解：由题意得：（x是正整数），y是x的函数，∴常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y．【点睛】主要考查了常量与变量．函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．12．下列式子中的y是x的函数吗？为什么？（1）； （2）； （3）．请再举出一些函数的例子．【答案】（1）是；（2）是；（3）是，例子不唯一【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断．【详解】解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数；（2）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数；（3）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数；例如：、y＝等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．【点睛】本题主要考查函数的概念，属于基础题型．
知识结构
知识精讲
A
C
B
D
E
F
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