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第14讲 正比例函数
教学内容
如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P， （1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的教师式； （2）若点P是直线O ( http: / / www.21cnjy.com )P与线段AB的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP的教师式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或者．【教师】（1）三角形△ABO的面积为：=24，设点P坐标为（x， y），，可得=3，y=4．因为点P在第二象限，所以P坐标为（-3，4），所以．（2）第一种情况：当△AOP的面积是△BOP面积的三倍时，，，可得点P的坐标为（，6），，所以；第二种情况，当△BOP的面积是△AOP的面积的三倍时，，，可得点P的坐标为（，2），所以，所以．【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．知识点一（正比例函数的概念）【知识梳理】一、形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数。其中叫做比例系数.注意：1. x的指数一定是1k≠0常数项为0二、求函数教师式方法：待定系数法【例题精讲】例1.下列函数中，是正比例函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】B例2.（1）已知函数是正比例函数，则m=_________；（2）当a_________时，函数是正比例函数．【答案】（1）；（2）．【教师】（1）由 ，又；因为是正比例函数，所以．例3.正比例函数的图像经过，那么这个正比例函数的教师式是_______________【答案】例4.（1）已知函数y与x成正比例关系，且当，当 _________；（2）已知成正比例，且当，则y与x之间的函数关系式是__________．【答案】（1）；（2）．【教师】（1）比例系数为，； 比例系数为，，则．例5.（1）已知y与x之间的函数关系式是，那么y与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知，y与_____________成正比例关系，k=___________．【答案】（1）不是；（2），．【教师】（1）不满足正比例函数的定义(是常数，)； （2），y与成正比例关系，比例系数为．例6.（1）已知成正比例，且当，求y与x的函数关系式；（2）已知为正比例函数，求k的值及函数教师式．【难度】★★【答案】（1）；（2），．【教师】（1）常数，所以；（2）因为是正比例函数，所以，并且，可得：，所以函数教师式为：． 1．若函数y=（2m+6）x2+（1﹣m）x是正比例函数，则m的值是（ ）A．m=﹣3 B．m=1 C．m=3 D．m＞﹣3【答案】A【详解】由题意可知： ∴m=-3故选：A2．若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（ ）A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣3【答案】D【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义解答.【详解】解：∵y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，∴k2﹣9＝0，且k﹣3≠0，解得：k＝﹣3，故选：D.【点睛】此题考查正比例函数的定义：形如的函数是正比例函数，熟记定义是解题的关键.3．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2【答案】D【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．【详解】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．知识点二（正比例函数的图像和性质）【知识梳理】定义形如的函数叫正比例函数图像经过定点 （0，0） 和 （1，k） 的一条 直 线性质>0图形经过第 一、三 象限随的增大而 增大 <0图形经过第 二、四 象限随的增大而 减小 作图方法：五点作图【例题精讲】例1.正比例函数y=kx，y随x的增大而增大，则k的取值范围 （ ） A．k＜0 B． k≤0 C． k＞0 D．k≥0答案：C例2.函数，，的共同特点是（ ）A．图像位于同样的象限 B．图象都过原点C．y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小【答案】B【分析】三个函数都是正比例函数， ( http: / / www.21cnjy.com )正比例函数图象是经过原点的一条直线，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．【详解】解：A. y=2x的图象位于一、三象限，y=-3x的图象位于二、四象限，y=-x的图象位于二、四象限，故选项A不符合题意；B. ，，的图象都过原点，故B正确，符合题意；C. y=2x的y值随x的增大而增大，y=-3x的y值随x的增大而减小，y=-x的y值随x的增大而减小，故选项C不符合题意；D. y=2x的y值随x的增大而增大，y=-3x的y值随x的增大而减小，y=-x的y值随x的增大而减小，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查正比例函数图象的性质，需 ( http: / / www.21cnjy.com )要熟练掌握：正比例函数图象是经过原点的一条直线，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．例3.已知正比例函数y=(1-2a)x如果的值随的值增大而减小，那么a的取值范圆是 。答案：a＞例4.结合正比例函数y=4x的图像回答：当时，y的取值范围是 。答案：y＞4 1．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，n）和点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，则该正比例函数的表达式为（ ）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x【答案】B【分析】根据题意求得m、n的值，把点A的坐标代入函数教师式求出k值，从而得到正比例函数教师式．【详解】解：∵点A（﹣4，n），点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，∴m＝4，n＝2，∴A（﹣4，2），把点A的坐标代入y＝kx得﹣4k＝2，解得k，所以，正比例函数教师式为yx，故选：B．【点睛】本题考查了关于原点对称和一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标满足函数教师式求出k值是解题的关键．2．若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】根据题意，，m+1＜0，验证判断即可．【详解】∵函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，∴，m+1＜0，∴m=2或m=-2，且m＜-1，∴m=2不符合题意，舍去，∴m=-2，故选A．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图像分布，熟记定义，掌握图像分布与比例系数ｋ的关系是解题的关键．知识点三（正比例函数图像与性质）【例题精讲】例1.（1）已知成正比例，且当，求y与x的函数关系式；（2）已知为正比例函数，求k的值及函数教师式．【答案】（1）；（2），．【教师】（1）常数，所以；（2）因为是正比例函数，所以，并且，可得：，所以函数教师式为：．例2.若是正比例函数，又，当x取何值时．【答案】．【教师】因为函数是正比例函数，所以，则， 所以．当时，则，解得：【总结】考察正比例函数的意义及解一元一次不等式．例3.已知y是x的正比例函数，且当时，：求出这个函数的教师式；在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；试问：点关于原点对称的点B是否在这个图像上 【答案】（1）；（2）如图；（3），（4）在．【教师】（1）比例系数，所以； （3）； （4）在这个函数图像上．例4.点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间 ( http: / / www.21cnjy.com )成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度y cm ，求y与x的函数教师式及x的取值范围． 【答案】，定义域为：．【教师】，由，得：，所以．例5.已知一正比例函数图像上的一点P的纵坐标是3，作PQ⊥y轴，垂足为点Q，三角形OPQ的面积是12，求此正比例函数的教师式．【答案】．【教师】因为PQ⊥y轴，垂足为点Q，所以 PQ长度就是点P的横坐标的绝对值，由三角形面积可得：PQ ==8，所以．所以此正比例函数的教师式为：．例6.如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P， （1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的教师式； （2）若点P是直线OP与线段AB的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP的教师式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或者．【教师】（1）三角形△ABO的面积为：=24，设点P坐标为（x， y），，可得=3，y=4．因为点P在第二象限，所以P坐标为（-3，4），所以．（2）第一种情况：当△AOP的面积是△BOP面积的三倍时，，，可得点P的坐标为（，6），，所以；第二种情况，当△BOP的面积是△AOP的面积的三倍时，，，可得点P的坐标为（，2），所以，所以．1．是点关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的坐标，然后设该正比例函数的教师式为，再把点的坐标代入求出k的值即可．【详解】解：是点关于x轴的对称点．，设该正比例函数的教师式为，正比例函数的图象经过点，，解得，这个正比例函数的表达式是．故选：D．【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的教师式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的教师式是解答此题的关键．2．关于函数，下列判断正确的是（ ）A．图象经过第一、三象限 B．随的增大而减小C．图象经过点 D．无论为何值，总有【答案】B【分析】A、由k=-2＜0，利用正比例函数的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可得出函数y=-2x的图象经过第二、四象限，选项A不符合题意；
B、由k=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、代入x-1求出与之对应的y值，进而可得出函数y=-2x的图象经过点（-1，2），选项C不符合题意；
D、代入x=0求出与之对应的y值，结合y随x的增大而减小可得出当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意．【详解】解：A、∵k=-2＜0，
∴函数y=-2x的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象经过第二、四象限，选项A不符合题意；
B、∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当x=-1时，y=-2×（-1）=2，
∴函数y=-2x的图象经过点（-1，2），选项C不符合题意；
D、当x=0时，y=-2×0=0，且y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意．
故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．3．如果函数（为常数）的图像经过点（－1，－2），那么随着的增大而_______．【答案】增大．【分析】根据题意知此函数为正比例函数，则根据坐标点知道此函数过一三象限，得出y 随着 x 的增大而增大．【详解】正比例函数的性质∶当时，正比例函数自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大；当时，正比例函数自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小．根据题意代入点（－1，－2），得：，∴y 随着 x 的增大而增大．【点睛】此题考查正比例函数的图像的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )：当k>0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；当k<0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．4．平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为__________．【答案】【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a，3)，代入计算即可．【详解】解：∵A坐标为(2，3)，∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a，3)，∵恰好落在正比例函数的图象上，∴，解得：a=．故答案为．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．5．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；（1）当x＝1，y＝2时，则函数教师式为 ；（2）当函数图象过第一、三象限时，k ；（3）k ，y随x的增大而减小；（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．【分析】（1）将，代入即可求的值，进而确定函数教师式；（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；（4）求出，，则的面积．【详解】解：（1）当，时，，，故答案为；（2）函数图象过第一、三象限，，故答案为；（3）随的增大而减小，函数图象经过第二、四象限，，故答案为；（4），点的横坐标为1，，，，的面积．【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键．6．已知如下三个正比例函数：y1=x， y2=kx（k≠0），y3=-2x（1）写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质；（2）如果直线x=m（m≠0）与y1、y2、y3顺次交于点A、点B、点C，且AB=BC，求k的值．【答案】（1）①都是直线，②都经过原点，③都只经过两个象限（一条即可）；（2）k=【分析】（1）根据正比例函数的性质解答即可；（2）设，，三点的坐标，进而解答即可．【详解】解：（1）这三个正比例函数的图象都具有以下性质：①都是直线，②都经过原点，③都只经过两个象限（一条即可）；（2）设，，．，．解得：．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的性质，解题解答本题主要根据正比例函数的性质解答．1．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( )A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可．【详解】解：A、∵，∴两点不在同一个正比例函数图象上，故本选项错误；
B、∵，∴两点不在同一个正比例函数图象上，故本选项错误；
C、∵，∴两点不同一个正比例函数图象上，故本选项错误；
D、∵，∴两点在同一个正比例函数图象上，故本选项正确．
故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的教师式是解答此题的关键．2．如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m【答案】A【分析】根据函数图象所在象限可判断出k＞0，m＞0，n＜0，再根据直线上升的快慢可得k＞m，进而得到答案．【详解】解：∵正比例函数y＝kx，y＝mx的图象在一、三象限，∴k＞0，m＞0，∵y＝kx的图象比y＝mx的图象上升得快，∴k＞m＞0，∵y＝nx的图象在二、四象限，∴n＜0，∴k＞m＞n，故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数图象，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线，
当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．3．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，B(4，0)，C(1，4)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A．4 B．8 C．8 D．16【答案】D【详解】试题教师：如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com / )当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y=2x-6上，∵C（1，4），∴FD=CA=4，将y=4代入y=2x-6中得：x=5，即OD=5，∵A（1，0），即OA=1，∴AD=CF=OD-OA=5-1=4，则线段BC扫过的面积S=S平行四边形BCFE=CF FD=16．故选D．4．若正比例函数的图象上有一点，且，则的取值范围是（ ）A． B． C．或 D．无法确定【答案】A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征看得出y1= ( http: / / www.21cnjy.com )（2k-1）x1，进而可得出x1y1=（2k-1）x12，再由x12≥0，x1y1＜0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵正比例函数y=（2k-1）x的图象上有一点A（x1，y1），
∴y1=（2k-1）x1，
∴x1y1=（2k-1）x12．
又∵x12≥0，x1y1＜0，
∴2k-1＜0，
∴．
故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征结合x1y1＜0，找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．5．已知正比例函数y＝3x，若该正比例函数图象经过点（a，4a﹣1），则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【答案】A【分析】把点的坐标代入函数的教师式，即可得出关于a的方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵正比例函数y=3x的图象经过点（a，4a-1），∴代入得：4a-1=3a，解得：a=1，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．6．已知点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则m+n的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6【答案】D【分析】把点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）分别代入y＝﹣3x中，得到m=-3a，n=3a+6,两式相加求解即可．【详解】∵点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，∴m=-3a，n=3a+6，∴m＋n=-3a+3a+6=6，故选D．【点睛】本题考查了正比例函数的图像，熟练掌握图像过点则点的坐标满足函数的教师式是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝10【答案】D【分析】设正比例函数教师式为y＝kx（k≠0），再把A、B点的坐标代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的关系式．【详解】解：设正比例函数教师式为y＝kx（k≠0），把A（m，2），点B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，可得，， 代入mk＝2得，m ＝2，所以mn＝10．故选：D．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数教师式：先设出正比例函数的教师式为y＝kx，然后把一组对应值代入求出k即可．8．正比例函数y＝－5x的图象经过第____ ( http: / / www.21cnjy.com )____象限，经过点(0，________)与点(1，________)，y随x的增大而________．【答案】二、四 0 －5 减小 【详解】对于y=-5x，当x=0时，y=0，当x=1时，y=-5，∵k=-5<0，∴正比例函数y＝－5x的图象经过第二、四象限，y随着x的增大而减小，故答案为二、四 ，0，－5，减小.9．如图，A是正比例函数y=x图象上的点，且在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，若AB=2，则点C的坐标为_______． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】（1，4）．【分析】根据得出点A的横坐标，根据正比例函数图象上点的坐标特征，得出点A的坐标，根据等腰直角三角形的性质，即可得到点C的坐标.【详解】∵A是正比例函数图象上的点，且在第一象限， ∴点A的横坐标是2，当x=2时，y=3，∴点A的坐标为（2，3），∵过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，∴点C到AB的距离为1，AB的一半是1，∴点C的坐标是（1，4）故答案为（1，4）．【点睛】考查正比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等，综合性比较强.10．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．【答案】k>3【分析】根据正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．【详解】因为正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限，所以k-3＞0，解得：k＞3，故答案为k＞3．【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限解答．11．若函数是正比例函数，则=_______.【答案】-2【分析】根据形如y=kx（k≠0）是正比例函数，可得答案【详解】解：函数是正比例函数，解得：故答案为【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握概念是解题的关键．12．若y＝（k﹣1）+k+1是关于x的正比例函数，则k＝_____．【答案】-1【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案．【详解】解：∵y＝（k﹣1）x2﹣|k|+k+1，y是x的正比例函数，∴2﹣|k|＝1，且k﹣1≠0，k+1＝0，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点晴】本题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零，正确理解正比例函数的概念是解题关键．13．已知与成正比例，且时，．（1）求关于的函数表达式；（2）当时，求的值．【答案】（1）；（2）-4【分析】（1）根据正比例的意义，设y+3＝kx，然后把已知的一组对应值代入求出k的值即可得到y与x的函数表达式；（2）把x＝﹣代入（1）中的教师式式计算对应的函数值即可．【详解】解：（1）设（是常数且），把x＝2，y＝1代入得2x＝1+3，解得x＝2，所以y+3＝2x，所以y与x的函数表达式为y＝2x﹣3；（2）当x＝﹣时，y＝2×（﹣）﹣3＝﹣4．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )教师式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的教师式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的教师式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数教师式．14．正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值．【答案】2【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围，即可求解．【详解】解：∵函数函数为正比例函数，∴，∴，又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，∴m＞0，∴【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．15．如图，在的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点，，，均在格点上，其中为坐标原点，； ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）画出平面直角坐标系，并求出三角形的面积；（2）将线段向右平移得线段，当，，三点在同一直线上时，求出点的坐标．【答案】（1）建立如图平面直角坐标系，图形见详解，S△ABC=；（2） C1（）．【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，过B作BD⊥CA，交射线CA于D，由点，可求，，，利用面积公式S△ABC=即可；（2）设BO的教师式为，利用待定系数法把点B坐标代入可求 ，求得BO的教师式为，把y=2代入正比例函数教师式可得A1（）由A1C1=2，即可求出C1（）．【详解】解：（1）建立如图平面直角坐标系，过B作BD⊥CA，交射线CA于D，∵点，则，，，∴BD=2-(-3)=5；AC=0-(-2)=2，S△ABC=；（2）设BO的教师式为，过点B，则，解得，∴BO的教师式为，当y=2时，解得， ( http: / / www.21cnjy.com / )∴A1（），又∵AC平移到A1C1，AC=2，∴A1C1=2，∴C1（）即（）．【点睛】本题考查根据坐标建立平面直角坐标系，利用平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系求三角形面积，线段平移，待定系数法求正比例函数教师式，利用函数求平移后坐标是解题关键．
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第14讲 正比例函数
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如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P， （1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的教师式； （2）若点P是直线OP与线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP的教师式；若不存在，请说明理由．知识点一（正比例函数的概念）【知识梳理】一、形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数。其中叫做比例系数.注意：1. x的指数一定是1k≠0常数项为0二、求函数教师式方法：待定系数法【例题精讲】例1.下列函数中，是正比例函数的是（ ）A． B．C． D．例2.（1）已知函数是正比例函数，则m=_________；（2）当a_________时，函数是正比例函数．例3.正比例函数的图像经过，那么这个正比例函数的教师式是_______________例4.（1）已知函数y与x成正比例关系，且当，当 _________；（2）已知成正比例，且当，则y与x之间的函数关系式是__________．例5.（1）已知y与x之间的函数关系式是，那么y与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知，y与_____________成正比例关系，k=___________．例6.（1）已知成正比例，且当，求y与x的函数关系式；（2）已知为正比例函数，求k的值及函数教师式．1．若函数y=（2m+6）x2+（1﹣m）x是正比例函数，则m的值是（ ）A．m=﹣3 B．m=1 C．m=3 D．m＞﹣32．若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（ ）A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣33．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2知识点二（正比例函数的图像和性质）【知识梳理】定义形如的函数叫正比例函数图像经过定点 （0，0） 和 （1，k） 的一条 直 线性质>0图形经过第 一、三 象限随的增大而 增大 <0图形经过第 二、四 象限随的增大而 减小 作图方法：五点作图【例题精讲】例1.正比例函数y=kx，y随x的增大而增大，则k的取值范围 （ ） A．k＜0 B． k≤0 C． k＞0 D．k≥0例2.函数，，的共同特点是（ ）A．图像位于同样的象限 B．图象都过原点C．y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小例3.已知正比例函数y=(1-2a)x如果的值随的值增大而减小，那么a的取值范圆是 。例4.结合正比例函数y=4x的图像回答：当时，y的取值范围是 。 1．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，n）和点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，则该正比例函数的表达式为（ ）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x2．若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ）A． B．2 C． D．3知识点三（正比例函数图像与性质）【例题精讲】例1.（1）已知成正比例，且当，求y与x的函数关系式；（2）已知为正比例函数，求k的值及函数教师式．例2.若是正比例函数，又，当x取何值时．例3.已知y是x的正比例函数，且当时，：求出这个函数的教师式；在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；试问：点关于原点对称的点B是否在这个图像上 例4.点燃的蜡烛，缩短的长 ( http: / / www.21cnjy.com )度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度y cm ，求y与x的函数教师式及x的取值范围． 例5.已知一正比例函数图像上的一点P的纵坐标是3，作PQ⊥y轴，垂足为点Q，三角形OPQ的面积是12，求此正比例函数的教师式．例6.如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P， （1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的教师式； （2）若点P是直线OP与线 ( http: / / www.21cnjy.com )段AB的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP的教师式；若不存在，请说明理由．1．是点关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为（ ）A． B． C． D．2．关于函数，下列判断正确的是（ ）A．图象经过第一、三象限 B．随的增大而减小C．图象经过点 D．无论为何值，总有3．如果函数（为常数）的图像经过点（－1，－2），那么随着的增大而_______．4．平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为__________．5．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；（1）当x＝1，y＝2时，则函数教师式为 ；（2）当函数图象过第一、三象限时，k ；（3）k ，y随x的增大而减小；（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积． ( http: / / www.21cnjy.com / )6．已知如下三个正比例函数：y1=x， y2=kx（k≠0），y3=-2x（1）写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质；（2）如果直线x=m（m≠0）与y1、y2、y3顺次交于点A、点B、点C，且AB=BC，求k的值．1．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( )A．， B．， C．， D．，2．如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m3．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，B(4，0)，C(1，4)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A．4 B．8 C．8 D．164．若正比例函数的图象上有一点，且，则的取值范围是（ ）A． B． C．或 D．无法确定5．已知正比例函数y＝3x，若该正比例函数图象经过点（a，4a﹣1），则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C． D．﹣6．已知点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则m+n的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．67．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝108．正比例函数y＝－5x的图象经过第 ( http: / / www.21cnjy.com )________象限，经过点(0，________)与点(1，________)，y随x的增大而________．9．如图，A是正比例函数y=x图象上的点，且在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，若AB=2，则点C的坐标为_______． ( http: / / www.21cnjy.com / )10．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．11．若函数是正比例函数，则=_______.12．若y＝（k﹣1）+k+1是关于x的正比例函数，则k＝_____．13．已知与成正比例，且时，．（1）求关于的函数表达式；（2）当时，求的值．14．正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值．15．如图，在的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点，，，均在格点上，其中为坐标原点，； ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）画出平面直角坐标系，并求出三角形的面积；（2）将线段向右平移得线段，当，，三点在同一直线上时，求出点的坐标．
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