第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程

(共16张PPT)
2．4 抛物线
2．4．1
抛物线及其标准方程
1．经历抛物线标准方程的推导过程．
2．能根据条件熟练求出抛物线的标准方程、焦点坐标和准
线方程．
3．掌握抛物线的定义，标准方程及其中 p 的几何意义．
1．抛物线定义．
我们把平面内_______________________________________
_________的点的轨迹叫做抛物线；点 F 叫做抛物线的______；
直线 l 叫做抛物线的____________．
与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离
相等
焦点
准线
2．抛物线的四种标准形式.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
__________
x2＝2py(p>0)
__________
x2＝－2py(p>0)
【要点1】如何理解抛物线的定义？
【剖析】(1)抛物线的定义可归为“一动三定”，即“一个
动点 M”、“一个定点 F”、“一条定直线 l”、“一个定值”．其中
“定点”为抛物线的焦点，“定直线”为抛物线的准线， “定值”指
点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l(准线)的距离之比等于 1.
(2)F l，否则动点 M 的轨迹不是抛物线，而是过点 F 且垂
直于直线 l 的一条直线．
【要点2】二次函数的图象都是抛物线，那么抛物线的方
程都是二次函数吗？写出 y＝ax2(a≠0)的焦点坐标，准线方程．
题型1 抛物线定义的应用
例1：(2011 年辽宁)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B
是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点到 y 轴
的距离为(
)
思维突破：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线
的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方
程求出 A，B 的中点横坐标，求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离．
答案：C
【变式与拓展】
1．设圆 C 与圆 x2＋(y－3)2＝1 外切，与直线 y＝0 相切，
则 C 的圆心轨迹为(
)
A
A．抛物线
C．椭圆
B．双曲线
D．圆
题型2 求抛物线的标准方程
例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应的
准线方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线 x－2y－4＝0 上．
思维突破：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定
一个待定系数 p；从实际分析，一般需确定 p 和确定开口方向
两个条件，否则，应展开相应的讨论．
【变式与拓展】
2．(2011 年陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为
B
x＝－2，则抛物线的方程是(
A．y2＝－8x
C．y2＝－4x
)
B．y2＝8x
D．y2＝4x
3．若抛物线经过点 M(1,4)，求其标准方程．
题型 3 最值问题
例3：已知点 F 为抛物线 y2＝－8x 的焦点，O 为原点，
点P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|＝4，
求|PA | ＋|PO|的最小值．
思维突破：利用抛物线的定义，由|AF|＝4 得到 A 到准线的
距离为 4，即可求出点 A 的坐标，根据：“|PA |＋|PO|”相当于
在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利
用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．
【变式与拓展】
图D6