第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质

(共14张PPT)
2．4．2 抛物线的简单几何性质
1．理解抛物线的几何性质(包括范围、对称性、顶点和离
心率)．
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此
基础上，列表、描点和画抛物线图形．
标准方程 y2＝2px
(p>0) y2＝－2px
(p>0) x2＝2py
(p>0) x2＝－2py
(p>0)
图形
几
何
性
质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称性 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称
顶点 坐标原点 O(0,0)
离心率 e＝1
1．抛物线的几何性质.
其中 p 的几何意义是____________________．
焦点到准线的距离
【要点】有人说抛物线类似于双曲线的一支，是这样吗？
抛物线与椭圆、双曲线有什么不同？
【剖析】不能把抛物线看作双曲线的一支，双曲线有渐近
线，而抛物线没有．直线与抛物线相交时，只要直线不平行于
抛物线的对称轴就一定有两个交点；而对于直线与双曲线的一
支相交来说，则要看直线与渐近线相交的情况才能确定交点个
数．当抛物线上的点趋向于无穷远时，过抛物线上的点的切线
行于抛物线的轴，即曲线接近于和轴平行，而双曲线上
的点趋于无穷时，它的切线的斜率接近于渐近线的斜率．
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的
离心率等于 1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一
条准线，它无中心，也没有渐近线．
题型1 焦点弦问题
例1：已知直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线
相交，其中一点为(2p,2p)，求其焦点弦的长度．
思维突破：①联立直线与抛物线方程，由根与系数关系求
得 x1＋x2；②利用焦点弦公式．
【变式与拓展】
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题型2 抛物线的对称性
例2：正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛
物线 y2＝4x 上，求这个正三角形的边长．
【变式与拓展】
2．己知等边三角形的一个顶点是抛物线 y2＝x 的焦点，另外
两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________．
解析：利用抛物线的对称性，分两种情况讨论．
题型3 由几何性质求抛物线方程
例3：已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为 x 轴，且
思维突破：圆和抛物线都关于 x 轴对称，所以它们的交点
也关于 x 轴对称，即公共弦被 x 轴垂直平分，于是由弦长可知
交点纵坐标．
【变式与拓展】
3．已知抛物线的焦点在 x 轴上，直线 y＝2x－4 被抛物线
截得的线段长为 3
，则抛物线的标准方程是______________
________________．
y2＝4x
或y2＝－36x