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第16讲 函数的表示法
自学五步法
( http: / / www.21cnjy.com / )1、教师法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的教师式（或函数关系式）．简单明了， ( http: / / www.21cnjy.com )能从教师式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用教师式表示．1．下列式子中，不是的函数的是（ ）A． B．C． D．已知矩形的面积是24平方厘米，其长为 ( http: / / www.21cnjy.com )y（厘米），宽为x（厘米），则y与x之间的函数关系的图像大致在___________象限，y随x的增大而_________．给出函数①，②，③，④，其中图象能够完全重合的是（ ）．A．①和② B．②和③ C．③和④ D．④和①指出下列问题中的变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．若点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数教师式为_______________．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． 求y关于x的函数关系式；某商店购进甲、乙两款瓷碗，甲款瓷碗售价为4.5元/个．乙款瓷碗一次性购货不超过10个，售价为5元/个，乙款瓷碗一次性购货10个以上，超出10个的部分每个打8折．记王师傅购买甲、乙两款瓷碗中的任意一款的数量均为个（）．（1）设购买甲款瓷碗花费元，购买乙款瓷碗花费元，分别求，关于的函数教师式．（2）若王师傅打算用100元购买甲、乙两款瓷碗中的任意一款，则他购买的瓷碗最多有多少个？二、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．米店买米，数量x（千克）与售价y（元）之间的关系如下表：x/千克0.511.52…y/元…已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标与对应的纵坐标分别如下表所示．若这两个函数图象仅有一个交点，则交点的纵坐标是______．甲乙0123﹣101201233210如表是加热食用油时温度随时间的变化情况：时间010203040油温1030507090王红发现，烧到时油沸腾了，则油的沸点是__________（沸点是指液体沸腾时候的温度）．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：观察图形，填写下列表格：正方形边长1357......n（奇数）黑色小正方形个数正方形边长2468......n（偶数）黑色小正方形个数用列表法与教师式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数．三、图像法图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够 ( http: / / www.21cnjy.com )很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．三种表示法的相互联系与转化：由函数的教师式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数教师式所表示的方程的一个解．一辆客车从上海出发开往北京，设客车发t小时后与北京的距离为S千米，下列图像能大致反应S和t的函数关系的是（ ）为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某 ( http: / / www.21cnjy.com )扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )已知，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝，AE＝，则能反映与之间函数关系的大致图像是（ ）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A B C D小明带了2元钱去买笔，每支笔的价格是0.5元，那么小明买完笔后剩下的钱数y（元）与买到的笔的数量x（支）之间的函数图象大致是（ ）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )某物流公司的快递车和货车每天沿同一 ( http: / / www.21cnjy.com )条路线往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．如图所示，表示货车距离A地的路程y（单位：h）与所用时间x（单位h）的图像，其间在B地装卸货物2h．已知快递车比货车早1h出发，最后一次返回A地比货车晚1h．若快递车往返途中速度不变，且在A、B两地均不停留，则两车在往返途中相遇的次数为________次． ( http: / / www.21cnjy.com / )1．下列能表示y是x的函数的是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B．C．x12345y510151617D．以上都是A．A B．B C．C D．D2．下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量3．王涵准备测量食用油的 ( http: / / www.21cnjy.com )沸点（液体沸腾时的温度），已知食食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃），王涵家只有刻度不超过100度的温度计；她的方法是在锅中导入一些食用油，用媒气灶均匀加热，并每隔10s，测量一下锅中的油温，测量得到的数据如表所示，王涵发现，加热110s时，油沸腾了，则下列判断不正确的是（ ）时间t/s010203040油温1030507090A．没有加热时，油的温度是B．每加热10s．油的温度升富C．如热50s时，油的温度是D．这种食用油的沸点温度是4．如表是加热食用油的温度变化情况：时间油温王红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（ ）A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是C．估计这种食用油的沸点温度约是 D．每加热，油的温度升高5．从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是（ ）．A． B． C． D．6．根据市卫生防疫部门的要 ( http: / / www.21cnjy.com )求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是( )放水时间(分钟)1234…游泳池中的水量(m3)2480246024402420…A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟7．弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系如下表：所挂物体的质量m/kg012345弹簧的长度y/cm1012.51517.52022.5下列说法错误的是（ ）A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cmB．弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，所挂物体的质量是因变量C．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系可用关系式y＝2.5m＋10来表示D．在弹簧能承受的范围内，当所挂物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm1．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设张白纸粘合后的总长度为，与的函数关系式为___________．2．阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象： ( http: / / www.21cnjy.com / )小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是__________________________________ ．请写出函数的一条性质： ______________________________________ ．3．如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是______． ( http: / / www.21cnjy.com / )4．小颖根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1进行探讨．ｘ…-2-101234…y…4321234…（1）若点A（a，6）和点B（b，6）是该函数图象上的两点，则a+b＝ ．（2）在平面直角型标系中画出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；（3）由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值是 ；（4）由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )5．下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成：（1）当x≥3时， ，当x＜3时， ；（2）画出该函数的图像；列表：x……y……描点，连线，得到该函数的图象： ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质．
A
B
C
D
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第16讲 函数的表示法
自学五步法
( http: / / www.21cnjy.com / )1、教师法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的教师式（或函数关系式）．简单明 ( http: / / www.21cnjy.com )了，能从教师式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用教师式表示．1．下列式子中，不是的函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数定义可得答案．【详解】解：A 、 y=x2 ， y 是 x 的函数，故此选项不合题意；B 、 y=x 2， y 是 x 的函数，故此选项不合题意；C 、 ， y 是 x 的函数，故此选项不合题意；D 、 y=±， y 不是 x 的函数，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了函数的概念，对于函数 ( http: / / www.21cnjy.com )概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．已知矩形的面积是24平方厘米，其长为 ( http: / / www.21cnjy.com )y（厘米），宽为x（厘米），则y与x之间的函数关系的图像大致在___________象限，y随x的增大而_________．【答案】第一，减小．【教师】根据矩形面积计算公式，可得，即得，由，可知函数图像在第 一象限，根据函数性质，，可知y随x的增大而减小．【总结】考查利用公式解决实际问题与反比例函数的增减性．给出函数①，②，③，④，其中图象能够完全重合的是（ ）．A．①和② B．②和③ C．③和④ D．④和①【答案】D【分析】根据题意，图像能完全重合则，函数教师式相同，根据二次根式的性质以及求一个数的立方根化简，进而分析即可．【详解】①，②，③，④④和①的教师式相同，即函数图像能够完全重合．故选D【点睛】本题考查了函数图像与函数教师式，二次根式的性质以及求一个数的立方根，理解题意，将各函数表达式化简是解题的关键．指出下列问题中的变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．【答案】（1）变量x，y；常量4．（2）变量t，w；常量0.2，30．（3）变量r，C；常量．（4）变量x，y；常量10．【分析】根据常量与变量的定义求解即可．【详解】解：(1)由题意可知，变量为x，y，常量为4；(2)由题意可知，变量为t，w，常量为0.2，30；(3)由题意可知，变量为r，C，常量为；(4)由题意可知，变量为x，y，常量为10．【点睛】本题考查常量与变量的定义，常量是指在变化过程中不随时间变化的量；变量是指在变化过程中随着时间变化的量．若点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数教师式为_______________．【答案】．【教师】点P（x，y）在一、三象限角平分线上，则有，且有，点在一、 三象限，则有x、y同号，由此即可得．【总结】考查象限角平分线上的点横纵坐标的关系．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． 求y关于x的函数关系式；【答案】（1）每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）y=-50x+15000【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据题意列出方程求解即可；（2）设购进A型电脑x台，则购进B型电脑100-x，然后根据（1）中所求的结果求出函数关系式即可.【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据题意得 ，解得，答:每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）设购进A型电脑x台，则购进B型电脑100-x，因此100台电脑的销售总利润为y=100x+150（100-x），即y=-50x+15000．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式，解题的关键在于能够准确找到等量关系列式求解.某商店购进甲、乙两款瓷碗，甲款瓷碗售价为4.5元/个．乙款瓷碗一次性购货不超过10个，售价为5元/个，乙款瓷碗一次性购货10个以上，超出10个的部分每个打8折．记王师傅购买甲、乙两款瓷碗中的任意一款的数量均为个（）．（1）设购买甲款瓷碗花费元，购买乙款瓷碗花费元，分别求，关于的函数教师式．（2）若王师傅打算用100元购买甲、乙两款瓷碗中的任意一款，则他购买的瓷碗最多有多少个？【答案】（1）；时，；时，；（2）22个【分析】（1）根据甲、乙两款瓷碗中的任意一 ( http: / / www.21cnjy.com )款的数量均为x个，甲款瓷碗售价为4.5元/个．乙款瓷碗一次性购货不超过10个，售价为5元/个，乙款瓷碗一次性购货10个以上，超出10个的部分每个打8折，列出关系式即可；（2）先分别算出单独购买甲和乙的瓷碗数，然后取最多的即可得到答案．【详解】解：（1）由题意可得，，当时，，当时，．（2）若购买甲款瓷碗，，得，∴王师傅购买甲款瓷碗最多有22个，若购买乙款瓷碗，，得，∴王师傅购买乙款瓷碗最多有22个，∴王师傅购买的瓷碗最多有22个，答：王师傅购买的瓷碗最多有22个．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，列函数关系式，解题的关键在于能够准确读懂题意．二、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．米店买米，数量x（千克）与售价y（元）之间的关系如下表：x/千克0.511.52…y/元…则售价y与数量x之间的关系式是___________．【答案】y＝2.6x＋0.1【分析】根据观察，可发现规律：每增加0.5千克，售价增加1.3元，可得答案．【详解】售价y与数量x之间的关系式是y＝2.6x＋0.1，故答案为：y＝2.6x＋0.1．【点睛】本题考查了函数关系式，观察发现规律是解题关键．已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标与对应的纵坐标分别如下表所示．若这两个函数图象仅有一个交点，则交点的纵坐标是______．甲乙0123﹣101201233210【答案】1【分析】根据题意结合表格中数据得出两图象交点进而得出答案．【详解】解：由表格中数据可得：甲、乙有公共点（1，1），故交点的纵坐标是：1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了函数图象，正确得出交点坐标是解题关键．如表是加热食用油时温度随时间的变化情况：时间010203040油温1030507090王红发现，烧到时油沸腾了，则油的沸点是__________（沸点是指液体沸腾时候的温度）．【答案】224【分析】从表格中看出，每过10秒油温升高20°C，按此规律计算即可．【详解】解：107-40=67（秒），20÷10=2（°C），90+2×67=224（°C）．故答案为：224．【点睛】本题考查了函数的表示方法中的表格法，看懂数据的规律是解题的关键．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：观察图形，填写下列表格：正方形边长1357......n（奇数）黑色小正方形个数正方形边长2468......n（偶数）黑色小正方形个数【答案】1，5，9，13，；4，8，12，16，．【教师】观察相应图形可知，分别从n为奇数和偶数观察，边长每增加2，黑色小正方形个 数增加4个，n为奇数，小正方形个数从1开始增长，即得黑色小正方形个数为 ；n为偶数，小正方形个数从4开始增长，即得黑色小正方形个 数为，即可得到对应表格中的数字．【总结】考查找规律方法的应用，注意数字之间的变化．用列表法与教师式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数．【答案】列表法见教师，且n为整数【分析】从一点和边上的其他点连接分成三角形的个 ( http: / / www.21cnjy.com )数为点数减去2，也就是边数减2，由于三角形的内角和是180°，所以多边形内角和与它的边数关系为多边形内角和＝（边数﹣2）×180°，由此规律计算即可求解．【详解】解：图 例…n边形边 数n345…n内角和m/度180＝180×（3﹣2）360＝180×（4﹣2）540＝180×（5﹣2）…180×（n﹣2）故n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数为m＝180°（n﹣2），（n≥3且n为整数）．【点睛】本题考查了函数的表达形式，函数的表达形式有列表法、图像法以及教师式法，熟练掌握多边形内角和的推导过程是解决本题的关键．三、图像法图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能 ( http: / / www.21cnjy.com )够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．三种表示法的相互联系与转化：由函数的教师式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数教师式所表示的方程的一个解．一辆客车从上海出发开往北京，设客车发t小时后与北京的距离为S千米，下列图像能大致反应S和t的函数关系的是（ ）【答案】A 【教师】客车发车时，与北京距离最远，即对应y值最大；客车到达北京时，与北京距离最 近为0，符合条件的图像为A选项．【总结】考查图像法表达函数关系，注意相应函数图像上的点的意义．为积极响应党和国家精准扶 ( http: / / www.21cnjy.com )贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】A【分析】根据行进的路程和时间之间的关系，确定图象即可得到答案．【详解】解：根据题意得，队员的行进路程s（单位：m）与行进时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是 ( http: / / www.21cnjy.com / )故选：A【点睛】本题考查函数图象，正确理解函数自变量与因变量的关系及其实际意义是解题的关键．已知，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝，AE＝，则能反映与之间函数关系的大致图像是（ ）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A B C D【答案】C【教师】根据题意可得，即得：，图像为反比例函数的 一段，同时易得的取值范围为，故选C．【总结】考查与平行四边形相关的图形面积的综合应用，两个变量之积不变成反比例．小明带了2元钱去买笔，每支笔的价格是0.5元，那么小明买完笔后剩下的钱数y（元）与买到的笔的数量x（支）之间的函数图象大致是（ ）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】D【分析】根据题意列出函数教师式，进而根据实际意义求得函数图像，注意自变量的取值范围．【详解】依题意，（为正整数）可以取得，对应的的值为，故选D【点睛】本题考查了根据实际问题列出函数关系式，变量与函数图像，结合实际是解题的关键．某物流公司的快递车和货车每天沿同一条路线 ( http: / / www.21cnjy.com )往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．如图所示，表示货车距离A地的路程y（单位：h）与所用时间x（单位h）的图像，其间在B地装卸货物2h．已知快递车比货车早1h出发，最后一次返回A地比货车晚1h．若快递车往返途中速度不变，且在A、B两地均不停留，则两车在往返途中相遇的次数为________次． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】2【分析】根据图象可知货车往返A、B一趟需8小时，则快递车往返A、B一趟需5小时，依此画出图象，再观察其图象与货车图象相交的次数即可．【详解】解：根据题意可知货车往返A、B一 ( http: / / www.21cnjy.com )趟需8小时，则快递车往返A、B一趟需5小时，在图上作出快递车距离A地的路程y（单位：km）与所用时间x（单位：h）的图象，由图象可知：两车在往返途中相遇的次数为2次．故答案为：2． ( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，正确理解题意、画出快递车的函数图象是解题关键．1．下列能表示y是x的函数的是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B．C．x12345y510151617D．以上都是A．A B．B C．C D．D【答案】D【分析】根据函数的表示方法及函数的定义，根据函数的定义，一般地，如果变量随着变量而变化，并且对于取的每一个值，都有唯一的一个值与它对应，那么称是的函数，对每个选项逐一判断即可．【详解】A.关于函数图像，对于每一个，有唯一的与之对应，故符合题意；B.表达式，，能表示y是x的函数，符合题意；C.表格，对于每一个，有唯一的与之对应，故符合题意；D，以上都是，故符合题意；故选D【点睛】本题考查了函数的表示方法及函数的定义，掌握函数的表示方法及函数的定义是解题的关键．2．下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量【答案】C【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．【详解】解：关于圆的面积S与半径R之间的关系式S =πR2中，S、R是变量，π是常量．故选：C．【点睛】本题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义．3．王涵准备测量食用油的沸点（液 ( http: / / www.21cnjy.com )体沸腾时的温度），已知食食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃），王涵家只有刻度不超过100度的温度计；她的方法是在锅中导入一些食用油，用媒气灶均匀加热，并每隔10s，测量一下锅中的油温，测量得到的数据如表所示，王涵发现，加热110s时，油沸腾了，则下列判断不正确的是（ ）时间t/s010203040油温1030507090A．没有加热时，油的温度是B．每加热10s．油的温度升富C．如热50s时，油的温度是D．这种食用油的沸点温度是【答案】C【分析】根据表格中提供的数据可知，：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃；每增加10秒，温度上升20℃，据此解答即可．【详解】A.从表格可知：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃，正确，不符合题意；B. 从表格可知：每增加10秒，温度上升20℃，正确，不符合题意；C.∵每增加10秒，温度上升20℃，∴t=50时，油温度y＝50÷10×20+10=110，不正确，符合题意；D.110÷10×20+10=230，即t=110秒时，温度y=230，正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．4．如表是加热食用油的温度变化情况：时间油温王红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（ ）A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是C．估计这种食用油的沸点温度约是 D．每加热，油的温度升高【答案】B【分析】根据题意由表格可知：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10；每增加10秒，温度上升20℃，则t=50时，油温度y=110；t=110秒时，温度y=230，以此进行分析判断即可．【详解】解：从表格可知：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10；每增加10秒，温度上升20，则50秒时，油温度110；110秒时，温度为，A、C、D均可以得出.故选：B．【点睛】本题考查函数的表示方法，熟练掌握并能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．5．从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据从A地向B地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元列出关系式即可．【详解】解：设通话时间t分钟(t≥3)，由题意得：y=2.4+（t-3）=t-0.6(t≥3)，故选C．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列出关系式，解题的关键在于能够准确找到相应的关系．6．根据市卫生防疫部门的 ( http: / / www.21cnjy.com )要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是( )放水时间(分钟)1234…游泳池中的水量(m3)2480246024402420…A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟【答案】D【分析】根据该游泳池共蓄水2500m3与每分钟后游泳池中的剩余水量可得，每分钟放水20m3，继而判断正误．【详解】解：A．由表格可得每分钟放水20m3，正确．B．游泳池中的水量随放水时间变化而变化，故放水时间是自变量，游泳池中的水量是因变量，正确．C．放水十分钟后，剩余水量2500﹣20×10＝2300（m3），正确．D．全部放完需要2500÷20＝125（分钟），错误．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的表示方法：表格法，另外还有图象法和教师式法，解题关键是从实际应用中构建函数模型求解．7．弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系如下表：所挂物体的质量m/kg012345弹簧的长度y/cm1012.51517.52022.5下列说法错误的是（ ）A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cmB．弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，所挂物体的质量是因变量C．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系可用关系式y＝2.5m＋10来表示D．在弹簧能承受的范围内，当所挂物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm【答案】B【分析】因为表中的数据主要涉及到弹簧的 ( http: / / www.21cnjy.com )长度和所挂物体的重量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；由已知表格得到弹簧的长度是y=10+2.5m，质量为mkg，y为弹簧长度；弹簧的长度有一定范围，不能超过．【详解】解：A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm，根据图表，当质量m＝0时，y＝10，故此选项正确，不符合题意；B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；C、当物体的质量为mkg时，弹簧的长度是y＝10＋2.5m，故此选项正确，不符合题意；D、由C中y＝10＋2.5m，m＝4，解得y＝20，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了函数的表示方法，列表 ( http: / / www.21cnjy.com )法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；教师式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．1．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设张白纸粘合后的总长度为，与的函数关系式为___________．【答案】y=21x+2【分析】等量关系为：纸条总长度=23×纸条的张数-（纸条张数-1）×2，把相关数值代入即可求解．【详解】每张纸条的长度是23cm，x张应是 ( http: / / www.21cnjy.com )23xcm，
由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x-1）个粘合，应从总长度中减去．
∴y与x的函数关系式为：y=23x-（x-1）×2=21x+2．
故答案为：y=21x+2．【点睛】此题考查函数关系式，找到纸条总长度和纸条张数的等量关系是解题的关键．2．阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象： ( http: / / www.21cnjy.com / )小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是__________________________________ ．请写出函数的一条性质： ______________________________________ ．【答案】答案不唯一，“因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图像”； 当x-1时，y随x的增大而减小；当x≧1时，y随x的增大而增大 【分析】根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性.【详解】由表格可知：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象，当x-1时，y随x的增大而减小；当x≧1时，y随x的增大而增大，故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当x-1时，y随x的增大而减小；当x≧1时，y随x的增大而增大.【点睛】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法， ( http: / / www.21cnjy.com )还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题的关键.3．如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是______． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】y=6x+2．【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度．【详解】：由题意可得，
把2个这样的圆环 ( http: / / www.21cnjy.com )扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm，
把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2，
故答案为：y=6x+2．【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．小颖根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1进行探讨．ｘ…-2-101234…y…4321234…（1）若点A（a，6）和点B（b，6）是该函数图象上的两点，则a+b＝ ．（2）在平面直角型标系中画出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；（3）由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值是 ；（4）由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】（1）2；（2）该函数的图象如图，见教师；（3）1；（4）﹣2≤x≤4．【分析】（1）由于A、B两个点的纵坐标相同且为6，把6代入函数教师式中即可求得x，从而可得a、b的值，进而求得结果；（2）根据表中的数据描点、连线即得函数图象；（3）观察图象即可得最小值；（4）先求出函数值为4时的自变量的值，观察图象可求得y≤4时的x的取值范围．【详解】解：（1）把y＝6代入＝|x﹣1|+1，得6＝|x﹣1|+1，解得x＝﹣4或6，∵A（﹣4，6），B（6，6）为该函数图象上不同的两点，∴a＝﹣4，b＝6，∴a+b＝2．故答案为2；（2）该函数的图象如图： ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）该函数的最小值为1；故答案为1；（4）∵y＝4时，则4＝|x﹣1|+1，解得，x＝﹣2或x＝4，由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是﹣2≤x≤4．故答案为﹣2≤x≤4．【点睛】本题考查了函数教师式的定义、画函数图象、根据函数图象求函数的最值及函数满足条件的自变量的取值范围．涉及函数的三种表示，注意数形结合．5．下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成：（1）当x≥3时， ，当x＜3时， ；（2）画出该函数的图像；列表：x……y……描点，连线，得到该函数的图象： ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质．【答案】（1）， ；（2）见教师；（3）函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是【分析】（1）根据题意，化简函数教师式，进而写出函数教师式；（2）根据（1）的结论，列表即可，进而描点，连线画出函数图象；（3）通过观察函数图象经过的象限以及最小值即可得出结论．【详解】解：（1）当x≥3时， ，当x＜3时，；故答案为：，（2）列表：x…135…y…1…描点，连线，得到该函数的图象： ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）当x≥3时，函数y的值为常数；x＜3时，函数y随x的增大而减小；函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是等等，答案不唯一，写出两条即可．【点睛】本题考查了分段函数的教师式，画函数图象，掌握作函数图像的基本步骤是解题的关键．
A
B
C
D
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