第二章 2.4.3 抛物线习题课

(共20张PPT)
2．4．3 抛物线习题课
1．掌握直线与抛物线位置关系的判断．
2．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．
3．掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题．
1．在有关抛物线的问题中，如果要建立平面直角坐标系，
一般以______________为坐标轴的原点，以________________
为 x 轴或 y 轴，这样得到的抛物线方程就是标准方程．
2．直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切和相离．
(1)当直线与抛物线相交时，有______个公共点．
(2)当直线与抛物线相切时，有______公共点．
(3)当直线与抛物线相离时，有______个公共点．
抛物线的顶点
抛物线的对称轴
1或2
1
0
【要点1】如何处理直线与抛物线相交问题？
【剖析】直线与抛物线相交，涉及弦长问题，常用两点间
的距离公式计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，
常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标
联系起来．所谓“点差法”是指：设两个交点分别为 A(x1， y1)，
B(x2，y2)，然后代入抛物线方程中，得到两个式子，将两
式相减，再运用平方差公式，结合中点公式、斜率公式求解．
做题时，应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的关
系将其灵活转化，往往能达到事半功倍的效果．
【要点2】怎样解决与曲线有关的最值问题？
【剖析】与曲线有关的最值问题，解法常有两种：当题目
的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结
合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则
可先建立目标函数，再求这个函数的最值．
题型1 抛物线的应用
例1：一辆卡车高 3 米，宽 1.6 米，欲通过抛物线形隧道，
拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为 a 米，求能使卡车
通过的 a 的最小整数值．
思维突破：深刻理解题意，将实际问题与数学模型联系起
来，并建立恰当的坐标系，是解这类问题的关键．
【变式与拓展】
1．如图 2－4－2，当抛物线形拱桥的顶点距水面 4 m 时，
测得拱桥内水面宽为 16 m；当水面升高 3 m 后，拱桥内水面的
宽度为________m.
图 2－4－2
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题型2 直线与抛物线的位置关系
例2：设直线 y＝2x＋b 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，
思维突破：在解决弦长问题时，应注意充分利用已知条件，
由于弦在直线与抛物线相交时才存在，故应注意Δ>0 这一隐含
条件．
【变式与拓展】
题型3 抛物线的综合应用问题
【变式与拓展】
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦
AD 和 AE，且 AD⊥AE，判断：直线 DE 是否过定点？试证明
你的结论．
化简，得 t2－6t＋5＝4m2＋8m，
即 t2－6t＋9＝4m2＋8m＋4，即(t－3)2＝4(m＋1)2.
∴t－3＝±2(m＋1)，
∴t＝2m＋5 或 t＝－2m＋1，代入(*)式检验只有 t＝2m＋5
满足Δ>0.
∴直线 DE 的方程为 x＝m(y＋2)＋5.
∴直线 DE 过定点(5，－2)．