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第19讲 命题与举例证明
( http: / / www.21cnjy.com / )一、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明． ( http: / / www.21cnjy.com )也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】（1）3；（2）见教师【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；（2）根据同位角相等，两直线平行得出DBEC，DFAC，然后根据平行线的性质得出结论．【详解】解：（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，故答案为：3；（2）如图所示：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠2（等量代换），∴DBEC（同位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠4＝∠C（等量代换），∴DFAC（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． ( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．（画出图形，写出已知、求证，并证明） ( http: / / www.21cnjy.com / )已知：__________________________求证：__________________________证明：【答案】画图见教师，已知：，平分，平分；求证：；证明：见教师【分析】先画好符合题意的图形，证明 ，再证明，从而可得，从而可得结论.【详解】解：画出图形如下： ( http: / / www.21cnjy.com / )已知：，平分，平分求证：证明：∵平分，平分 ∵∴∴∴．【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，角平分线的含义，同时考查分析命题的条件与结论，掌握以上知识是解题的关键.求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．【答案】略【教师】已知：如图，，交于点， 交于点． 求证：． 证明：，， ，， ， 如图，AD与BC交于点O，①AD=BC；②∠A=∠C；③AB=CD，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．已知：求证：证明： ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】已知：①③， 求证②，见教师【分析】连接BD，由SSS证明△ABD≌△CDB，即可得出∠A＝∠C；【详解】真命题：AD与BC交于点O，如果AD=BC；AB=CD，那么∠A=∠C已知：如图，AD=BC ，AB=CD， 求证：∠A=∠C证明：连接BD，如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com / )在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A＝∠C；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．二、命题、公理、定理命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设 ( http: / / www.21cnjy.com )是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补．【答案】（1）是假命题，见教师；（2）是真命题；（3）是假命题，见教师【分析】（1）锐角之和可以为钝角；（2）根据邻补角定义“另一边互为反向延长线的角叫做邻补角”进行解答即可判断；（3）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补进行解答即可判断．【详解】（1）两个锐角的和是锐角，假命题．反例为：与的和为；（2）邻补角是互补的角，真命题．理由：根据邻补角的定义“互为邻补角的两个角之和为平角”，即互补；（3）同旁内角互补，假命题．反例为：任意一个三角形的两个内角都是相对于它们所夹边的同旁内角，但它们之和小于，故不互补．【点睛】本题考查了真假命题，解题的关键是要正确的判断出命题的真假．下列命题中，为真命题的是（ ）A．是13的算术平方根 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．是最简二次根式 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】A【分析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．【详解】解：A. “是13的算术平方根”，判断正确，符合题意；B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；C.“是最简二次根式，被开方数中含有分母”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；D. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理 ( http: / / www.21cnjy.com )、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】依次根据平方的概念、三角形内角和定义、平行线的判定、无理数性质、实数的性质判断即可．【详解】解：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等，是真命题；②一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是180度，原命题是假命题；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；④两个无理数的和不一定是无理数，是假命题；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，是真命题；其中真命题是①③⑤，个数是3．故选：．【点睛】本题考查平方的概念、三角形内角和定义、平行线的判定、无理数性质、实数的性质，牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式： （1）等边对等角； 如果____________________，那么______________________________； （2）同角的补角相等； 如果____________________，那么______________________________； （3）平行于同一条直线的两条直线互相平行； 如果____________________，那么______________________________；（4）全等三角形对应边相等； 如果____________________，那么______________________________．【教师】（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；一对全等三角形中，如果两条边是这对全等三角形的对应边，那么这两条边相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出一个a的值，不满足即可．【详解】命题“对于任何实数a，”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2．
故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：许多命题都是由题 ( http: / / www.21cnjy.com )设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．下列命题是真命题的是（ ）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．有两个角是60°的三角形是等边三角形C．点与点关于原点对称D．在中，，则为直角三角形【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，中心对称，直角三角形判定等知识，一一判断即可．【详解】A. 等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、高线互相重合，原命题是假命题；B. 有两个角是60°的三角形是等边三角形，是真命题；C.点与点关于直线对称，原命题是假命题；D. ，，，为底角，顶角的等腰三角形，原命题是假命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，中心对称，直角三角形判定等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．三、证明举例证明两直线平行的一般方法：平行线的判定和性质；利用全等得出结论证明两直线平行．如图，若AB∥CD，直线EF分别与AB和CD相交于点E和F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF=____________．【答案】65°．【教师】，， ， 是的角平分线， 【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，同旁内角互补．如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F的理由. ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】∠E与∠F相等，理由见教师.【分析】根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠PAE=∠APF，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．【详解】∠E与∠F相等.理由如下:因为∠BAP和∠APD互补,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),所以∠BAP=∠CPA(两直线平行,内错角相等).因为∠1=∠2,所以∠PAE=∠APF,所以AE∥PF(内错角相等,两直线平行),所以∠E=∠F(两直线平行,内错角相等).【点睛】考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.已知：如图，AB∥CD，且FH、EG分别是∠BFE、∠CEF的平分线，求证：FH∥EG．【教师】证明：， ， 是的角平分线， ，同理 ， ．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行． 如图，已知E是△ABC一边AC的中点，F是AB上的一点，FE的延长线与CD交于点D，且FE=DE．求证：DC∥AB．【教师】证明：是的中点，． ， ． ， ．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．1．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理 ( http: / / www.21cnjy.com )游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话 ( http: / / www.21cnjy.com )，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．【详解】解：本题可分三种情况：①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符；②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符；③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人．故选D．【点睛】此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除．2．下列命题中，真命题有（ ）①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果a b＝0，那么a＝b＝0；④如果a＝b，那么a3＝b3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据等式的传递性、点到直线的距离的概念、有理数的乘法法则、幂的乘方运算法则进行判断即可．【详解】解：①如果a＝b，b＝c，那么a＝c，说法正确，是真命题；②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，说法错误，是假命题；③如果a b＝0，那么a=0或b=0或a＝b＝0，说法错误，是假命题；④如果a＝b，那么a3＝b3，说法正确，是真命题，真命题的有2个，故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及点到直线的距离的概念、有理数的乘法、幂的乘方运算等知识，判断命题的真假的关键是熟悉相关知识的概念及性质．3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等【答案】D【分析】先找出各命题的逆命题，再根据所学知识进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，此逆命题是假命题，不符合题意；B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”，此逆命题是假命题，不符合题意；C、“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”，此逆命题是假命题，不符合题意；D、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，此逆命题是真命题，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了命题的判断，掌握命题的概念及分类并能利用所学知识判断命题是解题的关键．4．下列命题中，真命题是（ ）A．同位角相等 B．同旁内角相等的两直线平行C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两直线平行【答案】D【分析】运用平行线的性质和判定知识甄别判断【详解】∵两直线平行，同位角相等，∴A说法是假命题，不符合题意；∵同旁内角互补，两直线平行，∴B说法是假命题，不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴C说法是假命题，不符合题意；∵平行于同一条直线的两直线平行，∴D说法是真命题，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了三线八角的意义，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．5．阅读下列语句：①对顶角不相等；②明天可能会下雨；③同位角相等；④画的平分线；⑤这个角等于吗？在这些语句是，属于命题的是________（填写序号），真命题个数是________．【答案】①③ 0 【分析】由题意根据命题的定义即对一件事情做出判断的语句叫命题以及正确的命题叫真命题进行分析判断即可．【详解】解：①对顶角不相等，是假命 ( http: / / www.21cnjy.com )题；②明天可能会下雨，没有明确做出判断不是命题；③同位角相等，是假命题；④画 ∠AOB 的平分线 OC，没有明确做出判断不是命题 ；⑤这个角等于 30° 吗？没有明确做出判断不是命题.故答案为：①③；0.【点睛】本题考查的是命题的定义以及命题的真假判断，注意对一件事情做出判断的语句才叫命题以及判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行．_________．（2）同角的补角相等．_____．【答案】如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】找出原命题的条件和结论即可得出答案．【详解】（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结论．（2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论．故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行．（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件 ( http: / / www.21cnjy.com )与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．1．有下列语句：①把无理数表示在数轴上；②若a2＞b2，则a＞b；③无理数的相反数还是无理数．其中_____是真命题（填序号）．【答案】③【分析】根据无理数、不等式的性质判断解答即可．【详解】解：①把无理数表示在数轴上，不是命题；②若a2＞b2，则|a|＞|b|，原命题是假命题；③无理数的相反数还是无理数，是真命题；故答案为：③．【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解无理数、不等式的性质，难度不大.2．用一组a，b的值说明命题“对于非零实数a，b，若，则”是错误的，这样的a，b可以是_______，_________．【答案】-1 1 【分析】通过a取-1，b取1可说明命题“若则a＜b，”是错误的．【详解】解：当a=-1，b=1时，满足但是a＜b．故答案为：-1，1．【点睛】本题考查了命题与定理：命 ( http: / / www.21cnjy.com )题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．命题“若中，，则”的结论是__________，若用反证法证明此命题时应假设__________．【答案】 【分析】根据反证法，从命题的结论反面出发进行假设进而得出答案．【详解】命题“若中，，则”的结论是，若用反证法证明此命题时应假设．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是解题的关键．4．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）【答案】①②⑤ ②⑤ 【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答．【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题；②如果，那么是命题，是真命题；③对顶角相等吗？不是命题；④画线段不是命题；⑤两点确定一条直线是命题，是真命题．故答案为：①②⑤，②⑤．【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记定义是解题的关键．5．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？（1）作，（ ） （2）两个锐角互余．（ ）（3）直线a与b有可能垂直．（ ） （4）作射线．（ ）（5）作直线．（ ） （6）整数一定是有理数．（ ）【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答．【详解】解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（ ( http: / / www.21cnjy.com )2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，不是命题；故答案为：不是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是．【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键．6．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：_______________________________求证：_______________ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC. 【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；求证：AD平分∠BAC．故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．7．下列命题中，①有两边和其中一 ( http: / / www.21cnjy.com )边的对角对应相等的两个三角形全等；②两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直；③三角形的一个外角等于两个内角的和；④等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形.其中假命题的个数有______个【答案】3【分析】根据全等三角形的判定对①进行判断，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线的性质和角平分线的性质对②进行判断，根据外角性质对③进行判断，根据等边三角形的性质对④进行判断，即可得到答案.【详解】解：有两边和其中一边的对角对应相等不能证明两个三角形全等；故①错误；两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直；故②正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；故③错误；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；故④错误；∴假命题的有3个，故答案为：3.【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事 ( http: / / www.21cnjy.com )情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．1．指出下列命题的题设和结论：（1）如果，垂足为，那么；（2）如果，，那么；（3）两直线平行，同位角相等．【答案】（1）题设：，垂足为；结论：．（2）题设：，；结论：．（3）题设：两条直线平行；结论：它们被第三条直线截得的同位角相等．【分析】按照“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的题设，q叫做命题的结论，找出下列命题中的“p”和“q”即可．【详解】（1）如果，垂足为，那么的题设是，垂足为，结论是；（2）如果，，那么的题设是，，结论是；（3）两直线平行，同位角相等的题设是两条直线平行，结论是它们被第三条直线截得的同位角相等．【点睛】本题主要考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．2．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．已知：如图，．求证：．证明：延长交于点，则．（ ）又∵，∴_______，（等量代换）∴．（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定．【详解】解：延长交于点，则．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）又∵，∴，（等量代换）∴．（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理．3．已知，和中，，．试探究： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）如图1，与的关系是______；（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．【答案】（1）；（2），见教师；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补【分析】（1）两直线平行，同位角相等，进行等量代换即可．
（2）两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，等量代换即可．（3）观察第一问和第二问的条件和结果，就可以得出真命题．【详解】证明：如下图： ( http: / / www.21cnjy.com / )设DE交BC于点G
∵
∴ 又∵ ∴∴ （2）如下图：设BC与DE交于点G ( http: / / www.21cnjy.com / )∵，∴又∵∴，∵∴．（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．【点睛】本题考查的是平行线的性质，能够根据直线平行，找到角的等量关系是解题的切入点．4．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．已知： ．结论： ．理由： ( http: / / www.21cnjy.com / )【答案】，；．理由见教师．【分析】根据平行线的判定与性质及对顶角相等进行证明．【详解】已知：，，求证：，理由：∵，又∵，∴，∴，∴．又∵，∴，∴，∴． ( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，在证明．5．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假，填入题前括号内．（ ）（1）两点确定一条直线．（ ）（2）等角的补角相等．（ ）（3）内铺角相等．（ ）（4）平行于同一直线的两条直线互相平行．（ ）（5）直角都相等．（ ）（6）对顶角的平分线成一条直线．（ ）（7）两边分别平行的两个角相等．【答案】（1）如果有两个点，那么可 ( http: / / www.21cnjy.com )以确定一条直线，真命题；（2）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等，假命题；（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，真命题；（5）如果两个角都是直角，那么它们相等，真命题；（6）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线成一条直线，真命题；（7）如果两个角的两边分别平行，那么它们相等，假命题．【分析】先把命题改成“如果……那么……”的形式，然后判断其真假即可得到答案．【详解】解：（1）如果有两个点，那么可以确定一条直线，真命题；（2）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等，假命题；（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，真命题；（5）如果两个角都是直角，那么它们相等，真命题；（6）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线成一条直线，真命题；（7）如果两个角的两边分别平行，那么它们相等，假命题．【点睛】本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6．已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角 ( http: / / www.21cnjy.com / )求证：∠ACD=∠B证明：∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（ ）∴∠BCD是∠DCA的余角∵∠BCD是∠B的余角（已知） ∴∠ACD=∠B（ ）【答案】垂直的意义；同角的余角相等．【分析】先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证．【详解】证明：∵（已知），∴（垂直的意义），∴是的余角，∵是的余角（已知），∴（同角的余角相等），故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键．7．如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C，∠3＝∠A，请从中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： ( http: / / www.21cnjy.com / )条件： 结论： 证明：【答案】见教师【分析】根据命题的概念，写出条件、结论，根据平行线的判定和性质定理证明．【详解】解：条件：∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C；结论：∠3＝∠A；证明：∵∠B＝∠C，∴AB∥CD，∴∠A=∠D，∵∠1＋∠2＝180°，∴AD∥EF，∴∠D=∠3，∴∠3＝∠A．【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
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A
B
C
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第19讲 命题与举例证明
( http: / / www.21cnjy.com / )一、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就 ( http: / / www.21cnjy.com )是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） ( http: / / www.21cnjy.com / )证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．（画出图形，写出已知、求证，并证明） ( http: / / www.21cnjy.com / )已知：__________________________求证：__________________________证明：求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．如图，AD与BC交于点O，①AD=BC；②∠A=∠C；③AB=CD，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．已知：求证：证明： ( http: / / www.21cnjy.com / )二、命题、公理、定理命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．逆命题：在两个命题中，如果第一个名义 ( http: / / www.21cnjy.com )的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补．下列命题中，为真命题的是（ ）A．是13的算术平方根 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．是最简二次根式 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式： （1）等边对等角； 如果____________________，那么______________________________； （2）同角的补角相等； 如果____________________，那么______________________________； （3）平行于同一条直线的两条直线互相平行； 如果____________________，那么______________________________；（4）全等三角形对应边相等； 如果____________________，那么______________________________．能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）A． B． C． D．下列命题是真命题的是（ ）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．有两个角是60°的三角形是等边三角形C．点与点关于原点对称D．在中，，则为直角三角形三、证明举例证明两直线平行的一般方法：平行线的判定和性质；利用全等得出结论证明两直线平行．如图，若AB∥CD，直线EF分别与AB和CD相交于点E和F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF=____________．如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F的理由. ( http: / / www.21cnjy.com / )已知：如图，AB∥CD，且FH、EG分别是∠BFE、∠CEF的平分线，求证：FH∥EG．如图，已知E是△ABC一边AC的中点，F是AB上的一点，FE的延长线与CD交于点D，且FE=DE．求证：DC∥AB．1．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游 ( http: / / www.21cnjy.com )戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．下列命题中，真命题有（ ）①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果a b＝0，那么a＝b＝0；④如果a＝b，那么a3＝b3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等4．下列命题中，真命题是（ ）A．同位角相等 B．同旁内角相等的两直线平行C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两直线平行5．阅读下列语句：①对顶角不相等；②明天可能会下雨；③同位角相等；④画的平分线；⑤这个角等于吗？在这些语句是，属于命题的是________（填写序号），真命题个数是________．6．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行．_________．（2）同角的补角相等．_____．1．有下列语句：①把无理数表示在数轴上；②若a2＞b2，则a＞b；③无理数的相反数还是无理数．其中_____是真命题（填序号）．2．用一组a，b的值说明命题“对于非零实数a，b，若，则”是错误的，这样的a，b可以是_______，_________．3．命题“若中，，则”的结论是__________，若用反证法证明此命题时应假设__________．4．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）5．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？（1）作，（ ） （2）两个锐角互余．（ ）（3）直线a与b有可能垂直．（ ） （4）作射线．（ ）（5）作直线．（ ） （6）整数一定是有理数．（ ）6．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：_______________________________求证：_______________ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )7．下列命题中，①有两边和 ( http: / / www.21cnjy.com )其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；②两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直；③三角形的一个外角等于两个内角的和；④等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形.其中假命题的个数有______个1．指出下列命题的题设和结论：（1）如果，垂足为，那么；（2）如果，，那么；（3）两直线平行，同位角相等．2．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．已知：如图，．求证：．证明：延长交于点，则．（ ）又∵，∴_______，（等量代换）∴．（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )3．已知，和中，，．试探究： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）如图1，与的关系是______；（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．4．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．已知： ．结论： ．理由： ( http: / / www.21cnjy.com / )5．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假，填入题前括号内．（ ）（1）两点确定一条直线．（ ）（2）等角的补角相等．（ ）（3）内铺角相等．（ ）（4）平行于同一直线的两条直线互相平行．（ ）（5）直角都相等．（ ）（6）对顶角的平分线成一条直线．（ ）（7）两边分别平行的两个角相等．6．已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角 ( http: / / www.21cnjy.com / )求证：∠ACD=∠B证明：∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（ ）∴∠BCD是∠DCA的余角∵∠BCD是∠B的余角（已知） ∴∠ACD=∠B（ ）7．如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C，∠3＝∠A，请从中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： ( http: / / www.21cnjy.com / )条件： 结论： 证明：
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