第二章 2.2.1 椭圆及其标准方程

(共16张PPT)
2．2 椭圆
2．2．1 椭圆及其标准方程
1．了解椭圆标准方程的推导过程．
2．能够根据条件熟练求出椭圆的标准方程．
3．掌握椭圆的定义与椭圆的标准方程．
1．平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离的和等于常数(大于
|F1F2|) 的点的轨迹叫做 __________ ， 这两个定点叫做椭圆的
________，两定点间的距离叫做椭圆的______，如图 2－2－1
所示．
图 2－2－1
椭圆
焦点
焦距
2．取过焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分
线为 y 轴建立直角坐标系 xOy，设 P(x，y)为椭圆上的任意一
点，椭圆的焦距是 2c(c>0) ， 那么焦点 F1 ， F2 的坐标分别为
____________________．又设 P 与 F1 ，F2 距离之和等于常数
2a(2a>2c) ， 令 a2 － c2 ＝ b2 ， 可 得 椭 圆 的 标 准 方 程 为
________________，如图 2－2－2 所示．
图 2－2－2
(－c,0)，(c,0)
3．取过焦点 F1，F2 的直线为 y 轴，线段 F1F2 的垂直平分
线为 x 轴．设 P(x ，y) 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是
2c(c>0)，则焦点 F1，F2 的坐标分别为_______________，又设
P 与F1，F2 距离之和等于常数 2a(2a>2c)，令 a2－c2＝b2，可得
椭圆的标准方程为________________，如图 2－2－3 所示．
图 2－2－3
(0，－c)，(0，c)
【要点1】怎样理解椭圆的标准方程？
【剖析】椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点 P 到两焦
点的距离之和的一半，a，b，c(都是正数)恰好构成一个直角三
角形的三条边，a 是斜边，所以 a＞b，a＞c，且 a2＝b2＋c2，
其中 c 是焦距的一半．
【要点2】椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”
或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
【剖析】当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段
F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
题型1 椭圆的定义
例1：平面内一动点 M 到两定点 F1，F2 距离之和为常数 2a，
则点 M 的轨迹为(
A．椭圆
C．无轨迹
)
B．圆
D．椭圆或线段或无轨迹
思维突破：当 2a>|F1F2|时是椭圆，当 2a＝|F1F2|时是线段，
当 2a<|F1F2|时无轨迹．
答案：D
【变式与拓展】
1．设 F1，F2 为定点，|F1F2|＝8，动点 M 满足|MF1|＋|MF2|
D
＝6，则动点 M 的轨迹是(
A．椭圆
C．射线
)
B．线段
D．不存在
题型2 求椭圆的标准方程
例2：(2012 年广东节选)在平面直角坐标系 xOy 中，已知
【变式与拓展】
题型3 含有参数的椭圆方程
＋
【变式与拓展】
3．已知方程
x2 y2
10－m m－4
＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，
则 m 的取值范围是____________．
7