1.4.2 用空间向量研究夹角问题 同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

　用空间向量研究夹角问题
基础巩固
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°,则直线l与平面α所成的角为(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是(　　)
A.0 B.
C.- D.
3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
4.在正四棱锥S-ABCD中,已知SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1C的中点,O为底面ABCD的中心,P为A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成的角为　　　　　.
6.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于　　　　　,平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值为　　　　　.
7.如图,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
能力提升
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点,则平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
3.(多选题)如图,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是(　　)
A.OA,OB,OC的长度相等
B.直线OD与BC所成的角是45°
C.直线AD与OB所成的角是45°
D.直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为
4.已知正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直,则平面ABD与平面BCD的夹角的正弦值为　　　　　.
5.在空间中,已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0,a)(a>0),若平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=　　　　　.
6.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)求证:OO1⊥平面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角的余弦值.
参考答案
基础巩固
1. B
2. A
3. A
4. C
5.
6.
7.
解:如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则由题意知,OA⊥BD,OC⊥BD,OA=1,OC=.
又CA=2,所以OA2+OC2=CA2,所以OA⊥OC.
以O为原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),
所以=(-1,0,1),=(-1,-,0).
设异面直线AB与CD所成的角为θ,
则cosθ=|cos<>|=.
故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
能力提升
1. A
2. D
3. AC
4.
5.
6.
(1)证明:因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD与四边形A1B1C1D1均为菱形,所以O为AC的中点,O1为A1C1的中点.
所以在矩形ACC1A1中,OO1⊥AC.
同理,OO1⊥BD.
又AC∩BD=O,所以OO1⊥平面ABCD.
(2)解:由(1)知,四边形ABCD为菱形,OO1⊥AC,OO1⊥BD,所以AC⊥BD,所以OB,OC,OO1两两互相垂直.
如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
不妨设AB=2.
因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1.
所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),
所以=(,0,2),=(0,1,2).
易知n1=(0,1,0)为平面BDD1B1的一个法向量.
设n2=(x,y,z)为平面OB1C1的法向量,
则
即
取x=2,则y=2,z=-,于是n2=(2,2,-)是平面OB1C1的一个法向量.
设平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角为θ,
则cosθ=|cos|=.
故平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角的余弦值为.