3.1.1椭圆及其标准方程同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1.1椭圆及其标准方程同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 636.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 12:00:19 | ||
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文档简介
椭圆及其标准方程
一、单选题
1．平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
2．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆的两个焦点为，，点是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆：的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为.则（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．11 D．18
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为6 B．的最大面积为
C．存在点P使得 D．的最大值为5
11．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．无解 B．的解为
C．的最小值为2 D．的最大值为2
三、填空题
12．椭圆的焦点坐标为___________.
13．已知圆的圆心为，设为圆上任一点，且点N(1，0)，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为___________________
14．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是___________
①当点不在轴上时，的周长是6
②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使
④的取值范围是
15．点P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1．当点P在第一象限时，它的纵坐标为__________．
四、解答题
16．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）经过点，两点；
（2）与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点．
17．已知是椭圆两个焦点，且.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
18．在面积为1的中，，．建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．
参考答案
1．C
因为平面上两定点，，所以，动点到两定点，的距离之和为，因为，所以动点是以，为焦点的椭圆；
故选：C
2．B
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
3．B
根据椭圆方程可得，
解得，
根据椭圆的定义可得，
所以的周长.
故选：B
4．D
解：依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以
故选：D
5．C
设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知，．
同理，可知，．
又，．
故选：C．
6．A
由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
7．D
设椭圆的右焦点为，连接，由对称性可知四边形为平行四边形，
所以，
由椭圆定义可知：，
所以的周长为，
所以，
又因为在椭圆上，所以，所以，
所以，
故选：D.
8．A
由题意得：，根据椭圆的定义可得，
所以，
又圆，变形可得，即圆心，半径，
所求的最大值，即求的最大值，
，
如图所示：
当共线时，有最大值，且为，
所以的最大值为，
所以的最大值，即的最大值为11+1=12，
故选：A
9．BC
A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC.
10．ABD
椭圆，，，，
对选项A，的周长，
故A正确.
对选项B，，故B正确；
对选项C，若存在点P使得，则，
即存在以为圆心，的圆与椭圆相交.
因为，即圆与椭圆不相交，所以不存在点P使得，故C错误；
对选项D，，故D正确.
故选：ABD
11．BC
解：，
设，，，
则，
若，则，
则的轨迹是以，为焦点的椭圆，
此时，，即，，
即椭圆方程为，当时，得，得，得，故A错误，B正确，
关于对称点为，
则，当三点共线时，最小，此时，无最大值，
故C正确，D错误，
故选：BC.
12．
由椭圆方程可得焦点在y轴上，a=2，，
且c2=a2-b2=4-3=1，∴c=1，故焦点坐标为（0，±1）.
故答案为：.
13．
因为圆的圆心为，半径为
设点，因为线段的垂直平分线交于点，
所以，因此，
因此点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，
即，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：.
14．①②④
【分析】
利用椭圆的定义与性质，逐步验证各选项正误即可.
【详解】
对于①，由椭圆方程可知，，则，根据椭圆定义，的周长为，故①正确；
对于②，设，，，则面积的最大值为，故②正确；
对于③，可知，当点P位于椭圆短轴的一个端点时，最大，此时，又，则为正三角形，，所以不存在点，使，故③错误；
对于④，可知，当点P为椭圆右顶点时，取最大值为，当点P为椭圆左顶点时，取最小值为，故的取值范围是，故④正确.
故答案为：①②④.
15．
因为，，所以；又因为，所以．
故答案为：
16．
（1）
（2）
（1）解：由题意得：
，
P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设椭圆的两个焦点为F1，F2，且交点在x轴上
，
故所求椭圆的焦点在x轴上
设椭圆方程为
由题意得，解得或 (舍去)
所以椭圆的标准方程为.
17．（1）此椭圆的方程为；（2）的面积为.
（1）因为是椭圆两个焦点，
所以，①
又因为，②
所以由①②可得，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，
由椭圆定义可知，③
在中，由余弦定理得，即，④
由③④式可得，，
所以.
即的面积为.
18．
如图所示：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
设以为焦点且过点的椭圆方程为 ，
由，可得直线和直线的方程分别为 和 ，将两方程联立可得，即
则，，则
,
,．
所求椭圆方程为．
一、单选题
1．平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
2．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆的两个焦点为，，点是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆：的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为.则（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．11 D．18
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为6 B．的最大面积为
C．存在点P使得 D．的最大值为5
11．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．无解 B．的解为
C．的最小值为2 D．的最大值为2
三、填空题
12．椭圆的焦点坐标为___________.
13．已知圆的圆心为，设为圆上任一点，且点N(1，0)，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为___________________
14．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是___________
①当点不在轴上时，的周长是6
②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使
④的取值范围是
15．点P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1．当点P在第一象限时，它的纵坐标为__________．
四、解答题
16．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）经过点，两点；
（2）与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点．
17．已知是椭圆两个焦点，且.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
18．在面积为1的中，，．建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．
参考答案
1．C
因为平面上两定点，，所以，动点到两定点，的距离之和为，因为，所以动点是以，为焦点的椭圆；
故选：C
2．B
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
3．B
根据椭圆方程可得，
解得，
根据椭圆的定义可得，
所以的周长.
故选：B
4．D
解：依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以
故选：D
5．C
设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知，．
同理，可知，．
又，．
故选：C．
6．A
由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
7．D
设椭圆的右焦点为，连接，由对称性可知四边形为平行四边形，
所以，
由椭圆定义可知：，
所以的周长为，
所以，
又因为在椭圆上，所以，所以，
所以，
故选：D.
8．A
由题意得：，根据椭圆的定义可得，
所以，
又圆，变形可得，即圆心，半径，
所求的最大值，即求的最大值，
，
如图所示：
当共线时，有最大值，且为，
所以的最大值为，
所以的最大值，即的最大值为11+1=12，
故选：A
9．BC
A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC.
10．ABD
椭圆，，，，
对选项A，的周长，
故A正确.
对选项B，，故B正确；
对选项C，若存在点P使得，则，
即存在以为圆心，的圆与椭圆相交.
因为，即圆与椭圆不相交，所以不存在点P使得，故C错误；
对选项D，，故D正确.
故选：ABD
11．BC
解：，
设，，，
则，
若，则，
则的轨迹是以，为焦点的椭圆，
此时，，即，，
即椭圆方程为，当时，得，得，得，故A错误，B正确，
关于对称点为，
则，当三点共线时，最小，此时，无最大值，
故C正确，D错误，
故选：BC.
12．
由椭圆方程可得焦点在y轴上，a=2，，
且c2=a2-b2=4-3=1，∴c=1，故焦点坐标为（0，±1）.
故答案为：.
13．
因为圆的圆心为，半径为
设点，因为线段的垂直平分线交于点，
所以，因此，
因此点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，
即，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：.
14．①②④
【分析】
利用椭圆的定义与性质，逐步验证各选项正误即可.
【详解】
对于①，由椭圆方程可知，，则，根据椭圆定义，的周长为，故①正确；
对于②，设，，，则面积的最大值为，故②正确；
对于③，可知，当点P位于椭圆短轴的一个端点时，最大，此时，又，则为正三角形，，所以不存在点，使，故③错误；
对于④，可知，当点P为椭圆右顶点时，取最大值为，当点P为椭圆左顶点时，取最小值为，故的取值范围是，故④正确.
故答案为：①②④.
15．
因为，，所以；又因为，所以．
故答案为：
16．
（1）
（2）
（1）解：由题意得：
，
P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设椭圆的两个焦点为F1，F2，且交点在x轴上
，
故所求椭圆的焦点在x轴上
设椭圆方程为
由题意得，解得或 (舍去)
所以椭圆的标准方程为.
17．（1）此椭圆的方程为；（2）的面积为.
（1）因为是椭圆两个焦点，
所以，①
又因为，②
所以由①②可得，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，
由椭圆定义可知，③
在中，由余弦定理得，即，④
由③④式可得，，
所以.
即的面积为.
18．
如图所示：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
设以为焦点且过点的椭圆方程为 ，
由，可得直线和直线的方程分别为 和 ，将两方程联立可得，即
则，，则
,
,．
所求椭圆方程为．