2.3.2双曲线的几何性质同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1（含答案）

双曲线的几何性质
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．已知双曲线，过点作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
A．3条 B．4条 C．1条 D．2条
6．已知双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，且的面积为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
8．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．5
9．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）
A．k1＋k2 B．|k1－k2|
C．k1k2 D．
10．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
二、填空题
11．双曲线的渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________．
12．经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B．求弦长|AB|=_____
13．已知双曲线与双曲线（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为______．
14．如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点,双曲线的离心率为______________．
三、解答题
15．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
16．已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围.
17．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
18．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
（1）求双曲线C：方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
在双曲线中，，，故双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
2．B
由题意知，焦点在x轴上，设等轴双曲线方程为，∴，∴，故双曲线方程为.
故选：B.
3．B
由双曲线的方程得，
双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得，
则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，
不妨取渐近线，即，
则顶点到渐近线的距离.
故选：B.
4．C
由题意，双曲线，可得，则，
因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，
由双曲线的定义可得，
又因为，可得，即，
又由，
可得，解得，
所以的面积为.
故选：C.
5．D
由双曲线方程可知其顶点坐标为
①当直线斜率不存在时，直线方程为：，满足与曲线只有一个公共点；
②当直线斜率存在时，设直线方程为：，即：，
联立，整理可得：
当，解得，
当时，此时方程没有实数根，
当时，此时方程有且仅有一个实数根，
直线与曲线有且仅有一个公共点
当时，，解得：，
又因为，此时方程无解.
综上所述：满足条件的直线有条
故选：D
6．A
设双曲线右焦点为，连接，由图形的对称性知为矩形，则有，，
∴，在中，，
故选:A．
7．C
如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.
故选：C.
8．D
设点在双曲线的右支上，则，，
因为，所以，，
因为，所以是直角三角形，所以
所以，即，
所以，解得：或（舍），
所以此双曲线的离心率是，
故选：D.
9．C
由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，
设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得即
又k1＝，
所以k1k2＝，
所以k1k2为定值
，不为定值；
，不为定值；
，不为定值
故选：C
10．C
该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
，
即，
作差可得，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
故选：C
11．
双曲线的离心率，
则，．
故答案为：3
12．3
∵双曲线的左焦点为F1（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程可设为，代入方程得，8x2﹣4x﹣13＝0，
∴，
∴.
故答案为：3.
13．
设双曲线的右顶点为，其坐标为，设右焦点为，坐标为，
设双曲线的上顶点为，其坐标为，设上焦点为，坐标为，
则，，
，当且仅当时等号成立，
故的最大值为．
故答案为：．
14．3
解：如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，
建立直角坐标系，则轴．
因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．
依题意，记，，，，
其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点的坐标为，．
设双曲线的方程为，则离心率．
由点、在双曲线上，
得
解得，化简可得，
所以，离心率.
故答案为：3
15．（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
16．
（1）
（2）或
（1）
设点M坐标为，则，，，，
，，
即：，点M的轨迹方程为；
（2）
将直线方程与曲线方程联立，，
①当，即时，直线与曲线E渐近线平行，满足
②当时，直线与曲线E相切，满足题意，解得
综上，的取值范围为或.
17．（1）；（2）存在，.
解：（1）设双曲线的焦距为，
因为离心率为2，所以，，
联立，得：，
所以点的坐标为，
因为，所以的面积为，所以，
双曲线的方程为.
（2）设，，直线的方程为，
直线的方程为，直线的方程为，
联立， 所以点的横坐标为，，
联立，得：，
，，
所以
，
直线与直线的交点在直线上.
18．
（1）
（2）过定点，（0，1）
【分析】
（1）利用待定系数法求处标准方程；
（2）先判断出斜率存在，不妨设直线AB的方程为，代入双曲线方程，利用“设而不求法”，表示出，得到，即可得到直线AB的方程为，经过定点.
（1）
离心率为，则，，即双曲线方程为.
又点在双曲线C上，所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）
当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，则，
由，得，即，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点（0，1）.