4.5.3 函数模型的应用 课时训练-2021-2022学年高一上学期数学 人教A版(2019)必修第一册（含答案）

4.5.3　函数模型的应用
基础巩固
1.已知某林场计划第一年造林10 000平方米,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林(　　)
A.14 400平方米 B.172 800平方米
C.20 736平方米 D.17 280平方米
2.有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从(　　)年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
3.已知某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是(　　)
A.y=log2(x+1) B.y=2x-1
C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1
4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2021年 B.2022年 C.2023年 D.2024年
5.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)20 mg/100 mL的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0 mg/100 mL,经过x小时,酒精含量降为p mg/100 mL,且满足关系式p=p0·erx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89 mg/100 mL,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61 mg/100 mL,则此人饮酒后至少经过　　　　　小时方可驾车精确到1小时,参考数据:≈0.470,≈0.322,≈0.221,≈0.151.
6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:
明文密文密文明文
已知加密函数为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,那么接受方通过解密得到明文“3”.若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是　　　　　.
7.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为　　　　　 km/h时,汽车的耗油量最少.
8.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.
(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;
(2)当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元 (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂的单价-成本)
能力提升
1.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位:只)与时间x(单位:年)近似满足关系y=alog3(x+2),观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到2020年冬有越冬白鹤(　　)
A.4 000只 B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只
2.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车,其跑车时间均为x h,跑过的路程分别满足关系式:f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log3(x+1),f4(x)=2x-1,则5 h以后跑在最前面的为(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.某商场出售一种商品,每天可卖1 000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件售价应降低(　　)
A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元
4.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万千克)与年份x(记2016年为第1年)之间的关系统计如下:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合的函数模型的序号是　　　　　.
5.某工厂生产产品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,决定提出产品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将产品A的年产销量减少了10p万件.
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围;
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.
6.如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大 并求出最大面积.
7.某科研团队对某一生物的生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积达到27 m2.该生物覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式.
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1 000倍 (参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
参考答案
基础巩固
1. D
2. D
3. D
4. B
5. 8
6. 4
7. 35
8.
解(1)当0当100所以P=f(x)=
(2)设销售商一次订购量为x件时,工厂获得的利润为L元,
则L=(P-40)x=
当x=450时,L=5850,因此,当销售商一次订购450件服装时,该厂获得的利润是5850元.
能力提升
1. C
2. D
3. D
4.①
5.
解由题意知,当开发费是产品A的销售金额的p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为80×(80-10p)万元,
新产品开发费f(p)=80×(80-10p)×p%(万元).
(1)由题设知
解得2≤p≤6.
故当新产品开发费不少于96万元时,p的取值范围为[2,6].
(2)当0则当p=4时,f(p)max=128.
故当p=4时,开发费最多,可达到128万元.
6.
解设四边形EFGH的面积为S,
则S=ab-2=-2x2+(a+b)x=-2,x∈(0,b].
因为0若≤b,即a≤3b,则当x=时,S有最大值;
若>b,即a>3b,易知S(x)在区间(0,b]上单调递增,则当x=b时,S有最大值ab-b2.
综上可得:当a≤3b,x=时,S有最大值;当a>3b,x=b时,S有最大值ab-b2.
7.
解(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,
所以依题意应选择y=kax(k>0,a>1),
则有解得所以y=8·.
(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则8·=8×1000,解得x=lo1000=≈16.67.
故约经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.