4.4.2对数函数图像与性质重要考点归纳总结练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

高一对数函数图像与性质重要考点归纳总结
考点一：对数函数概念
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
2．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x
3．已知函数，若，则________．
4．若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：对数型函数图像与应用
5．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．C． D．
8．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数f（x）＝x+，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）有最小值为n．则在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　）
A．B．C．D．
11．已知函数（，），则的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．设，函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
13．已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点三：与对数函数有关的定义域、值域问题
14．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数的定义域是，则函数的定义域是________ .
17．已知函数，且)在区间上的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
18．已知函数，则（ ）
A．有最小值，且最小值为-2
B．有最小值，且最小值为-1
C．有最大值，且最大值为-2
D．有最大值，且最大值为-1
19．函数在区间上的最大值为______，最小值为______.
20．函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知函数的值域为，定义域为，则的最大值为______.
22．若x满足不等式，则函数的最大值为________.
考点四：对数型函数的单调性问题（单调区间、比较大小、求参数范围）
23．函数的单调递减区间是__________．
24．求函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
26．已知，则（ ）
A． B． C． D．
27．设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
28．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
29．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．已知函数，，且时，关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则下列三个数，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点五：对数型函数单调性与奇偶性综合
33．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
34．若，则（ ）
A． B． C． D．
35．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
36．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
37．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递增
D．若函数在区间上单调递增，则
38．（多选题）某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（ ）
A．函数的定义域为，且是偶函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的a，，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足
39．若函数,满足,则____________.
40．已知，则关于x的不等式的解集是______．
考点六：对数型函数的综合问题
41．设全集为,集合.
（1）求；
（2）已知集合,若,求实数的取值范围.
42．已知函数是定义在R上的偶函数，且.当时，
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式.
43．已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
44．设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明：在内单调递增；
（3）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
45．已知（，且），且
（1）求a的值；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案
1．A【详解】A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选：A．
2．A【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.
3．-7【详解】根据题意有，可得，所以，故答案是.
4．B【详解】由题可知：函数为对数函数所以或，又且
所以故选：B
5．B【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不是已知函数图象.故选：B.
6．D【详解】因为，，是减函数，是增函数，只有D满足．
故选：D．
7．ABD【详解】由图可得，即，
单调递减过点，故A正确；
为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
8．A【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
9．BCD【详解】若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.
若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点， C、D都不可能.
故选：BCD.
10．A【详解】
∵函数，当且仅当，即m＝3时取等号，
∴m＝3，n＝4，
则函数的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，
观察选项可知，选项A符合．故选：A．
11．B【详解】由题意，，
∴，即为偶函数，排除A、D；
当时，，
当时，，
∴、对应函数值异号，排除C；
故选：B
12．C【详解】
的定义域为，当时，，
，在上是减函数，且时，，
又，
是偶函数，图象关于y轴对称．故选：C．
13．C【详解】令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
14．A【详解】解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为故选：A
15．C【详解】由题意，．故选：C．
16．【详解】解：因为函数的定义域是，即，所以，所以，即，即，所以，即函数的定义域为
故答案为：
17．D【详解】当时，在上单调递增，，即，解得；
当时，在上里调递减，即
解得；综上：或，故选：D．
18．D【详解】解： ，所以有最大值，且最大值为，但无最小值.故选：D
19．3 1
【详解】
，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以的最大值为，
最小值为.
故答案为：3；1
20．A【详解】因为函数的值域为，可得真数部分取到所有的正数，
即函数取到所有的正数，所以是函数的值域的子集，
所以解得：或，所以实数的取值范围是：.
故选：A.
21．【详解】
由，，，
∴b的最大值为2，a的最小值为，故的最大值为.故答案为：
22．2【详解】解：不等式，，解得，
，
设，则，
，其对称轴为，
在，上单调递减，
，所以函数的最大值为2.故答案为：2.
23．【详解】
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
定义域满足：，解得或.
根据复合函数单调性知：单调递减区间为.
故答案为：.
24．A【详解】
要使函数有意义，则，解得或，
设，则函数在上单调递减，在上单调递增．
因为函数在定义域上为增函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是．
故选A．
25．D【详解】
解：因为，，
所以故选：D
26．A【详解】
由，得，
而，知，故，故选：A
27．D【详解】令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
28．C【详解】
（为实数）为偶函数，在上是单调增函数，
，，，且
故选：C
29．A【详解】
当时，由，得，得，解得，
当时，由，得，得，所以，
综上，，故选：A
30．A
【详解】
，且时，关于，的不等式恒成立，
即当时，，所以在上是减函数，
所以，解得．故选：A．
31．C
【详解】由条件可知，函数在上是减函数，
需满足，解得：.故选：C
32．C
【详解】
因为，，，
所以
因为函数是偶函数，所以
因为，且函数在上单调递减，所以函数在区间单调递增，所以.
故选：C
33．D【详解】
解：因为，所以，
，
则，又因为，所以.故选：D.
34．A【详解】
由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.
35．D【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.
36．A【详解】
不妨设，当时，，
故不等式在区间上有解等价于在有解，
即在有解，
不妨令，则只需，
由对号函数的性质易知在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以的最小值为，即，
故实数的取值范围为.故选：A.
37．ABD
【详解】
A选项：二次函数开口向上，对称轴为，在区间上单调递增，正确；
B选项：函数由与复合而成，函数在上单调递增，在区间上单调递增，故函数区间上单调递增，正确；
C选项：函数由与复合而成，函数在单调递增，在区间上单调递增，又的定义域为，即，综上，函数在区间上单调递增，C选项错误；
D选项：，当时，，函数在单调递增，成立；当时，函数在，上单调递减，在，单调递增，不成立，当时，函数在，上单调递增，在，单调递减，成立，故，D选项正确；
故选：ABD.
38．BC【详解】
A：由，解得，故的定义域为．
又，
∴为奇函数，故错误．
B：由，，故正确．
C：，
，
∴，故正确．
D：取，，则，，
∴，故错误．故选：BC．
39．【详解】
解：因为，所以，因为，所以，即，即，所以；故答案为：
40．【详解】
因为，所以在上是单调递减函数，
因此可得解得，所以原不等式的解集为．
41．（1）或（2）
（1）
解：，.
则，或.
（2）
解：若，则,
当时，则，满足条件.
当，则，则要满足，则，
综上：，即实数的取值范围是.
42．（1）-5；（2）；（3）.
【详解】
（1）由是定义在R上的偶函数可得，
.
（2）当时，，因为函数是偶函数，
所以
所以函数的解析式为
（3）因为是偶函数，
所以不等式可以转化为.
又因为函数在上是减函数，
所以，解得，
又，
所以不等式的解集为.
43．（1）；（2）或．
【详解】
（1）令，，则，
则在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
所以当时，求该函数的值域为.
（2）不等式可化为，
分解因式得，
所以或，所以或.所以不等式的解集为或
44．（1）（2）证明见解析（3）
（1）
，，
，
即，故，，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足.
综上所述：.
（2）
，函数定义域为，
考虑，
设，则，
，，故，函数单调递减.
在上单调递减，
根据复合函数单调性知在内单调递增.
（3）
，即，为增函数.
故在单调递增，故.
故.
45．（1）3；（2）奇函数；理由见解析；（3）
【详解】
（1）由题知，，则；
（2）由题知，，
且满足，即，
故函数为奇函数.
（3）∵函数单调递增，
∴题干中不等式等价于，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
又当时，
故