2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式 题型分类训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式 题型分类训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 372.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-25 10:34:17 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数表达式》
题型分类训练（附答案）
一．待定系数法求二次函数解析式
1．若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
3．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
5．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
7．请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ．
8．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： ．
9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
10．写出一个经过原点且开口向下的抛物线的解析式 ．
11．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
12．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
15．如图，直线l和抛物线y＝ax2+bx+c相交于A、B两点，已知A（2，0）、B（0，﹣2），且该抛物线的对称轴是直线x＝，点C是第四象限内抛物线上的一个动点，点C的横坐标为m．
（1）分别求直线l和抛物线的函数表达式；
（2）过点D作CD⊥l，垂足为D，求出当m为何值时，线段CD有最大值，最大值是多少？
16．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
17．在平面直角坐标系中，已知关于x的两个二次函数y＝（n+1）x2+（n+1）x和y＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x的顶
点分别为A，B，设点A的纵坐标为a，点B的纵坐标为b．
（1）求两个顶点A，B之间的距离；
（2）已知坐标原点为O，记ω＝16OA2﹣8OB2，求ω关于n的函数解析式，并求ω的最小值．
18．已知二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且经过点（0，3），求该函数的表达式．
19．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线y＝mx+n上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x﹣3的“伙伴函数”表达式；
（2）若直线y＝mx﹣3与抛物线y＝x2﹣6x+c互为“伙伴函数”，求m与c的值；
（3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为（﹣k，t）且kt＝3，它的一个“伙伴函数”表达式为y＝3x+6，求该抛物线表达式，并确定在﹣4≤x≤4范围内该函数的最大值．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣3与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）垂直于y轴的直线l与直线AB交于点M（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2）、Q（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．
21．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．
22．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
23．一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
24．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（1，2）、（0，3）两点．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在图中画出二次函数的图象．
25．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得m的值为 ；
（2）请求出这个二次函数的表达式．
26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，3）三点，其顶点为E，直线m∥y轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求tan∠BEC的值；
（3）当直线m将△BCE的面积分成1：2两部分时，求点P的坐标．
27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
28．已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0），求该二次函数的解析式．
29．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．
30．某二次函数的图象的顶点为（2，﹣2），且它与y轴交点的纵坐标为2，求这个函数解析式．
二．二次函数的三种形式
31．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
32．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
33．将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（ ）
A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
34．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是下列中的（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2﹣1
35．把二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
36．用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
37．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x+h）2+k的形式应为 ．
38．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
39．二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝ ．
40．（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；
（2）用配方法求二次函数y＝x2+2x+3的最小值．
参考答案
一．待定系数法求二次函数解析式
1．解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图像开口向上，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图像开口向下，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
2．解：联立方程组，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）﹣k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
3．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
4．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
5．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
6．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
7．解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
8．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵经过原点，
∴c＝0，
∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，
∴a＜0，﹣＝0，
即：b＝0，
只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，
所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
9．解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
10．解：开口向下且经过原点的抛物线解析式可为y＝﹣x2．
故答案为y＝﹣x2．
11．解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
12．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
13．解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
14．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0）、B（0，﹣2），且对称轴是直线x＝，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2，
设直线l的表达式为y＝kx﹣2，
∴0＝2k﹣2，
解得：k＝1，
∴直线l的表达式为y＝x﹣2；
（2）∵A（2，0）、B（0，﹣2），
∴OB＝OA＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵CE⊥OA，
∴∠CED＝∠ECD＝45°，
设点C（m，m2﹣m﹣2），则点E（m，m﹣2），
∴CD＝CEsin45°＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
故当m＝1时，CD有最大值，最大值为．
16．解：（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3；
（2）∵直线l与抛物线W有且只有一个交点P，
∴Ⅰ、当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，
∴P1（0，3）；
Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立，
∴kx﹣6＝x2+4x+3，
即x2+（4﹣k）x+9＝0，
∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝（4﹣k）2﹣36＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝10，
①当k1＝﹣2时，x2+6x+9＝（x+3）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝0，
∴P2（﹣3，0）；
②当k2＝10时，x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当x＝3时，y＝24，
∴P3（3，24），
综上所述，点P的坐标为（0，3），（﹣3，0），（3，24）．
17．解：（1）y＝（n+1）x2+（n+1）x
＝（n+1）（x2+x）
＝（n+1）[﹣]
＝（n+1）﹣
∴点A（﹣，a），
y＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x
＝（1﹣n）﹣
∴点B（，b），
∴|AB|＝
＝；
（2）由（1）可知，A（﹣，﹣），B（，﹣），
∴OA2＝+，
OB2＝+，
∴ω＝16OA2﹣8OB2，
＝16×[+]﹣8×[+]
＝n2+3n+，
∴当n＝﹣3时，ω有最小值，
∴ω的最小值为﹣2．
18．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把点（0，3）代入抛物线的解析式得到a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3．
19．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点为（1，﹣4），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3），
代入“伙伴函数”y＝mx+n得，
∴，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的“伙伴函数”表达式为y＝﹣x﹣3；
（2）∵直线y＝mx﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∴抛物线y＝x2﹣6x+c与y轴的交点坐标也为（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线为y＝x2﹣6x﹣3，
∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴抛物线的顶点为（3，﹣12），
代入y＝mx﹣3得，﹣12＝3m﹣3，
∴m＝﹣3；
（3）由互为“伙伴函数”的概念可知，t＝﹣3k+6，
∴，解得，
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+3，
∵直线y＝3x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴抛物线y＝a（x+1）2+3与y轴的交点坐标也为（0，6），
∴a+3＝6，
∴a＝3，
∴抛物线表达式为y＝3（x+1）2+3，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值3，
把x＝4代入y＝3（x+1）2+3得y＝78，
∴在﹣4≤x≤4范围内该函数的最大值为78．
20．解：（1）∵直线y＝x﹣3与x、y轴分别交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
将A、B坐标分别代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）∵垂直于y轴的直线l与直线AB交于点M，与抛物线相交于点P、Q，
∴点P、Q关于抛物线的对称轴x＝1对称，
∴x2+x3＝2，
又∵x1＜x2＜x3，
∴点M、P、Q都在点B的下方，且M在y轴左侧，点P、Q在y轴右侧，
∴直线l在直线y＝﹣4和直线y＝﹣3之间，
令y＝x﹣3＝﹣4，得x＝﹣1，
∵﹣1＜x1＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
21．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝2x2﹣2x﹣12；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
22．解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，或a＝﹣3．
23．解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．
24．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，2）、（0，3），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+3；
（2）∵y＝﹣x2+3，
∴该函数的顶点坐标是（0，3），开口向下，过点（﹣1，2），（﹣2，﹣1），（1，2），（2，﹣1），
该函数图象如右图所示；
25．解：（1）函数的对称轴为：x＝1，
根据函数的对称轴知，m＝3，
故答案为：3；
（2）函数的顶点坐标为（1，﹣1），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣1，
将（2，0）代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣1．
26．解：（1）∵抛物线经过y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，3）三点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点E的坐标为（1，4），
又∵BC2＝32+32＝18，BE2＝42+22＝20，CE2＝12+12＝2，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴tan∠BEC＝＝＝3；
（3）∵S△BCE＝×3×＝3，
∴直线l将△BCE分成面积分别为1和2的两部分，
①当直线l经过点E时，
∵E的横坐标为1，B点的横坐标为3，
∴此时直线l把BC分为1：2两部分，
∴l将△BCE分成面积分别为1和2的两个三角形，
∴此时点P的坐标为（1，4）；
②当直线l不经过点E时（如图），设直线l与BC，BE分别交于点M，N，则S四边形CMNE＝2，S△BMN＝1，
∵BC的表达式为y＝﹣x+3，BE的表达式为y＝﹣2x+6，
设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3）（0＜x＜3），
则MN＝（﹣2t+6）﹣（﹣t+3）＝﹣t+3，
∴ （﹣t+3）（3﹣t）＝1，解得t1＝3﹣，t2＝3+（舍去），
∴此时点P的坐标为（3﹣，4﹣2）或；
综上所述，满足题意的点P的坐标为（1，4）或．
27．解：根据题意设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣1，
当x＝3时，y＝3，
∴3＝a（3﹣1）2﹣1，
解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
如图：
．
28．解：根据题意，可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0），
∵该二次函数的图象经过点C（2，0），
∴∴0＝（2﹣1）a﹣3，解得a＝3，
∴该函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3或y＝3x2﹣6x．
29．解：（1）依题意，得，解得，
∴所求二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1
∴该抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2，
列表：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… ﹣3 0 1 0 ﹣3 ……
描点画图得到y＝﹣x2+4x﹣3的图象．
30．解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2，
将（0，2）代入，得4a﹣2＝2，
解得a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣2．
二．二次函数的三种形式
31．解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以，y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
32．解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1） 2﹣1，
故选：D．
33．解：y＝x（x﹣1）+3x＝x2+2x，即y＝x2+2x．
故选：D．
34．解：y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4）﹣3＝﹣（x+2）2+1，
故选：C．
35．解：y＝x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7，即y＝（x﹣2）2﹣7．
故选：C．
36．解：y＝2x2+4x+5＝2（x2+2x+1﹣1）+5＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
37．解：y＝x2﹣4x+5
＝x2﹣4x+4+1
＝（x﹣2）2+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
38．解：y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4）﹣3＝﹣（x+2）2+1，
故答案是：y＝﹣（x+2）2+1．
39．解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故答案是：1．
40．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
配方得：（x﹣2）2＝5．
所以．
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）配方得：y＝（x+1）2+2，其顶点坐标是（﹣1，2），开口向上，则该函数最小值为2．
题型分类训练（附答案）
一．待定系数法求二次函数解析式
1．若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
3．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
5．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
7．请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ．
8．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： ．
9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
10．写出一个经过原点且开口向下的抛物线的解析式 ．
11．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
12．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
15．如图，直线l和抛物线y＝ax2+bx+c相交于A、B两点，已知A（2，0）、B（0，﹣2），且该抛物线的对称轴是直线x＝，点C是第四象限内抛物线上的一个动点，点C的横坐标为m．
（1）分别求直线l和抛物线的函数表达式；
（2）过点D作CD⊥l，垂足为D，求出当m为何值时，线段CD有最大值，最大值是多少？
16．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
17．在平面直角坐标系中，已知关于x的两个二次函数y＝（n+1）x2+（n+1）x和y＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x的顶
点分别为A，B，设点A的纵坐标为a，点B的纵坐标为b．
（1）求两个顶点A，B之间的距离；
（2）已知坐标原点为O，记ω＝16OA2﹣8OB2，求ω关于n的函数解析式，并求ω的最小值．
18．已知二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且经过点（0，3），求该函数的表达式．
19．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线y＝mx+n上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x﹣3的“伙伴函数”表达式；
（2）若直线y＝mx﹣3与抛物线y＝x2﹣6x+c互为“伙伴函数”，求m与c的值；
（3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为（﹣k，t）且kt＝3，它的一个“伙伴函数”表达式为y＝3x+6，求该抛物线表达式，并确定在﹣4≤x≤4范围内该函数的最大值．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣3与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）垂直于y轴的直线l与直线AB交于点M（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2）、Q（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．
21．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．
22．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
23．一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
24．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（1，2）、（0，3）两点．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在图中画出二次函数的图象．
25．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得m的值为 ；
（2）请求出这个二次函数的表达式．
26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，3）三点，其顶点为E，直线m∥y轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求tan∠BEC的值；
（3）当直线m将△BCE的面积分成1：2两部分时，求点P的坐标．
27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
28．已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0），求该二次函数的解析式．
29．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．
30．某二次函数的图象的顶点为（2，﹣2），且它与y轴交点的纵坐标为2，求这个函数解析式．
二．二次函数的三种形式
31．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
32．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
33．将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（ ）
A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
34．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是下列中的（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2﹣1
35．把二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
36．用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
37．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x+h）2+k的形式应为 ．
38．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
39．二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝ ．
40．（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；
（2）用配方法求二次函数y＝x2+2x+3的最小值．
参考答案
一．待定系数法求二次函数解析式
1．解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图像开口向上，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图像开口向下，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
2．解：联立方程组，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）﹣k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
3．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
4．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
5．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
6．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
7．解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
8．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵经过原点，
∴c＝0，
∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，
∴a＜0，﹣＝0，
即：b＝0，
只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，
所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
9．解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
10．解：开口向下且经过原点的抛物线解析式可为y＝﹣x2．
故答案为y＝﹣x2．
11．解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
12．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
13．解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
14．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0）、B（0，﹣2），且对称轴是直线x＝，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2，
设直线l的表达式为y＝kx﹣2，
∴0＝2k﹣2，
解得：k＝1，
∴直线l的表达式为y＝x﹣2；
（2）∵A（2，0）、B（0，﹣2），
∴OB＝OA＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵CE⊥OA，
∴∠CED＝∠ECD＝45°，
设点C（m，m2﹣m﹣2），则点E（m，m﹣2），
∴CD＝CEsin45°＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
故当m＝1时，CD有最大值，最大值为．
16．解：（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3；
（2）∵直线l与抛物线W有且只有一个交点P，
∴Ⅰ、当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，
∴P1（0，3）；
Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立，
∴kx﹣6＝x2+4x+3，
即x2+（4﹣k）x+9＝0，
∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝（4﹣k）2﹣36＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝10，
①当k1＝﹣2时，x2+6x+9＝（x+3）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝0，
∴P2（﹣3，0）；
②当k2＝10时，x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当x＝3时，y＝24，
∴P3（3，24），
综上所述，点P的坐标为（0，3），（﹣3，0），（3，24）．
17．解：（1）y＝（n+1）x2+（n+1）x
＝（n+1）（x2+x）
＝（n+1）[﹣]
＝（n+1）﹣
∴点A（﹣，a），
y＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x
＝（1﹣n）﹣
∴点B（，b），
∴|AB|＝
＝；
（2）由（1）可知，A（﹣，﹣），B（，﹣），
∴OA2＝+，
OB2＝+，
∴ω＝16OA2﹣8OB2，
＝16×[+]﹣8×[+]
＝n2+3n+，
∴当n＝﹣3时，ω有最小值，
∴ω的最小值为﹣2．
18．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把点（0，3）代入抛物线的解析式得到a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3．
19．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点为（1，﹣4），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3），
代入“伙伴函数”y＝mx+n得，
∴，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的“伙伴函数”表达式为y＝﹣x﹣3；
（2）∵直线y＝mx﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∴抛物线y＝x2﹣6x+c与y轴的交点坐标也为（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线为y＝x2﹣6x﹣3，
∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴抛物线的顶点为（3，﹣12），
代入y＝mx﹣3得，﹣12＝3m﹣3，
∴m＝﹣3；
（3）由互为“伙伴函数”的概念可知，t＝﹣3k+6，
∴，解得，
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+3，
∵直线y＝3x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴抛物线y＝a（x+1）2+3与y轴的交点坐标也为（0，6），
∴a+3＝6，
∴a＝3，
∴抛物线表达式为y＝3（x+1）2+3，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值3，
把x＝4代入y＝3（x+1）2+3得y＝78，
∴在﹣4≤x≤4范围内该函数的最大值为78．
20．解：（1）∵直线y＝x﹣3与x、y轴分别交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
将A、B坐标分别代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）∵垂直于y轴的直线l与直线AB交于点M，与抛物线相交于点P、Q，
∴点P、Q关于抛物线的对称轴x＝1对称，
∴x2+x3＝2，
又∵x1＜x2＜x3，
∴点M、P、Q都在点B的下方，且M在y轴左侧，点P、Q在y轴右侧，
∴直线l在直线y＝﹣4和直线y＝﹣3之间，
令y＝x﹣3＝﹣4，得x＝﹣1，
∵﹣1＜x1＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
21．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝2x2﹣2x﹣12；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
22．解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，或a＝﹣3．
23．解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．
24．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，2）、（0，3），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+3；
（2）∵y＝﹣x2+3，
∴该函数的顶点坐标是（0，3），开口向下，过点（﹣1，2），（﹣2，﹣1），（1，2），（2，﹣1），
该函数图象如右图所示；
25．解：（1）函数的对称轴为：x＝1，
根据函数的对称轴知，m＝3，
故答案为：3；
（2）函数的顶点坐标为（1，﹣1），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣1，
将（2，0）代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣1．
26．解：（1）∵抛物线经过y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，3）三点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点E的坐标为（1，4），
又∵BC2＝32+32＝18，BE2＝42+22＝20，CE2＝12+12＝2，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴tan∠BEC＝＝＝3；
（3）∵S△BCE＝×3×＝3，
∴直线l将△BCE分成面积分别为1和2的两部分，
①当直线l经过点E时，
∵E的横坐标为1，B点的横坐标为3，
∴此时直线l把BC分为1：2两部分，
∴l将△BCE分成面积分别为1和2的两个三角形，
∴此时点P的坐标为（1，4）；
②当直线l不经过点E时（如图），设直线l与BC，BE分别交于点M，N，则S四边形CMNE＝2，S△BMN＝1，
∵BC的表达式为y＝﹣x+3，BE的表达式为y＝﹣2x+6，
设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3）（0＜x＜3），
则MN＝（﹣2t+6）﹣（﹣t+3）＝﹣t+3，
∴ （﹣t+3）（3﹣t）＝1，解得t1＝3﹣，t2＝3+（舍去），
∴此时点P的坐标为（3﹣，4﹣2）或；
综上所述，满足题意的点P的坐标为（1，4）或．
27．解：根据题意设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣1，
当x＝3时，y＝3，
∴3＝a（3﹣1）2﹣1，
解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
如图：
．
28．解：根据题意，可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0），
∵该二次函数的图象经过点C（2，0），
∴∴0＝（2﹣1）a﹣3，解得a＝3，
∴该函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3或y＝3x2﹣6x．
29．解：（1）依题意，得，解得，
∴所求二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1
∴该抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2，
列表：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… ﹣3 0 1 0 ﹣3 ……
描点画图得到y＝﹣x2+4x﹣3的图象．
30．解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2，
将（0，2）代入，得4a﹣2＝2，
解得a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣2．
二．二次函数的三种形式
31．解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以，y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
32．解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1） 2﹣1，
故选：D．
33．解：y＝x（x﹣1）+3x＝x2+2x，即y＝x2+2x．
故选：D．
34．解：y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4）﹣3＝﹣（x+2）2+1，
故选：C．
35．解：y＝x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7，即y＝（x﹣2）2﹣7．
故选：C．
36．解：y＝2x2+4x+5＝2（x2+2x+1﹣1）+5＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
37．解：y＝x2﹣4x+5
＝x2﹣4x+4+1
＝（x﹣2）2+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
38．解：y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4）﹣3＝﹣（x+2）2+1，
故答案是：y＝﹣（x+2）2+1．
39．解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故答案是：1．
40．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
配方得：（x﹣2）2＝5．
所以．
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）配方得：y＝（x+1）2+2，其顶点坐标是（﹣1，2），开口向上，则该函数最小值为2．