人教版2021-2022学年九年级数学上册23.2.1 中心对称 课后练习（word版、含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十三章 旋转 23.2.1 中心对称 课后练习
一、选择题
1．如图，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与关于点P成中心对称，则点的坐标为（　　）
A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3)
4．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2
6．如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；
（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，与交于点，连接、．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
7．在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称的是（ ）
A．B．C． D．
8．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，点为轴上一点，以为边作等腰三角形，且，．现将绕点逆时针旋转，第1次旋转30°，第2次旋转60°，第3次旋转30°，第4次旋转60°……依此进行下去，则第60次旋转结束后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
12．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(1，3)，则点F的坐标为_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________．
14．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．
三、解答题
16．如图，已知和点O．在图中画出，使与关于点O成中心对称．
17．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．
（2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积．
18．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
19．已知如图所示，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接BC，AD，
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若△AOB的面积为15 cm2，求四边形ABCD的面积.
20．已知：如图，在直角坐标系中，阴影部分多边形是一个中心对称图形.
（1）图中阴影部分的面积是______，对称中心的坐标是______.
（2）在图①中，仅用直尺画一条直线，使将阴影部分分成面积相等的两部分.
（3）在（2）中，直线被阴影部分截得的线段长度的最小值为______.
21．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作关于点成中心对称的．
（2）将向右平移个单位，作出平移后的．
（3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出点的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，网格图由边长为1的小正方形所构成，Rt△ABC的顶点分别是A（-1，3），B（-3，-1），C（-3，3）.
（1）请在图1中作出△ABC关于点（-1，0）成中心对称△,并分别写出A，C对应点的坐标 ;
（2）设线段AB所在直线的函数表达式为，试写出不等式的解集是 ；
（3）点M和点N 分别是直线AB和y轴上的动点，若以，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的M点坐标.
23．在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分．
（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．
（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ；
（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．
【参考答案】
1．C 2．A 3．A 4．A 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D 10．B
11．．
12．(﹣2，4)
13．（-2,0）
14．2
15．
16．略
17．解：（1）四边形BDEG是菱形．
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
∴AB=AE，AD=AG，BE⊥DG，
∴根据勾股定理得：BD2=DE2=EG2=GB2=AB2+AD2，
∴四边形BDEG是菱形．
（2）若矩形ABCD面积为8，则S△ABD=SABCD=4，
∴根据菱形性质：四边形BDEG的面积为SBDEG=4S△ABD=16．
18．(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.
理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM ∠PMF=α β，
∠MCD=∠CDE ∠DMC=α β，
∴∠F=∠MCD.
19．根据成中心对称图形的性质知OA=OC，OB=OD.根据平行四边形对角线互相平分，所以可以得到四边形ABCD为平行四边形；△AOB的面积为15 cm2，则△ABC面积等于△AOB面积的2倍，因为点O为平行四边形的中心，所以△ABC的高等于△AOB高的2倍，所以S△ABC =30，所以四边形ABCD的面积是60.
(1)∵AOB与△COD关于点O成中心对称，∴OA=OC，OB=OD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)四边形ABCD的面积为60 cm2.
20．解：（1）将图中小三角阴影平移到一起故可发现，此阴影共包含了个小正方形，一个小正方形的面积为：，所以阴影部分的面积是；
根据中心对称图形上每一对对称点连线都过对称中心，故可找两组对称点连线交点即是对称中心，如下图所示，故可发现，其对称中心的坐标为：
（2）根据：经过中心对称图形的对称中心的任一直线,都可把这个中心对称图形平分成面积相等的两部分，直线只需过对称中心即可将阴影部分分成面积相等的两部分，如下图所示：（答案不唯一）；
（3）观察图形可发现直线被阴影部分截得的线段长度可能是图中红线段或者是过对称中心作图中小正方形的对角线的垂线并反向延长所构成的线段：图中红线段，
根据所在的直角三角形和勾股定理：
∵图中
∴四边形是平行四边形，
利用平移可发现平行四边形等于个小正方形的面积，故面积为：
利用所在的直角三角形和勾股定理可得
∵是平行四边形的高
∴
∵
∴是直线被阴影部分截得的线段长度中的最小的线段，长度为.
21．解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求作．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，．
22．解：（1）如图，△A'B'C'为所求，
∴A'（-1，-3），C'（1，-3）
故答案为：（-1，-3），（1，-3）
（2）∵AB所在直线的函数表达式是y=kx+b，且过A（-1，3），B（-3，-1），
∴，解得：
∴AB所在直线的函数表达式是y=2x+5
∴不等式2x+5＞2的解集为：x＞，
故答案为：x＞；
（3）∵A'（-1，-3），C'（1，-3）
∴A'C'=2，A'C'∥x轴，
若A'C'为边，
∵以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形
∴MN=A'C'=2，MN∥A'C'
∵点N在y轴上，
∴点M的横坐标为2或-2，
∵y=2×2+5=9或y=2×（-2）+5=1
∴点M（2，9）或（-2，1）
若A'C'为对角线，
∵以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形
∴MN与A'C'互相平分，
∵点N在y轴上，A'C'的中点也在y轴上，
∴点M的横坐标为0，
∴y=5
∴点M（0，5）
综上所述：当点M为（2，9）或（-2，1）或（0，5）时，以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形.
23．解：（1）①直线经过矩形对角线，如图，
，
②直线经过一组对边中点，如图，
，
③直线经过矩形对称中心，如图，
，
此处可借助△OAE≌△OCF，证面积被平分．
（2）只要经过矩形的对称中心，便可以平分矩形面积，所以有无数条，
故答案为无数，
（3）分析图形得到平分矩形面积的直线都经过了矩形的对称中心（对角线的交点），
故答案为经过对角线的交点（矩形的对称中心）．
（4）根据题意，连接AC，BD交于点O，过E，O的直线交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G．如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6．OA＝OC，∠FCO＝∠OAE＝45°，
∵∠FOC＝∠AOE，
∴△FOC≌△AOE（ASA），
∴AE＝CF＝2，
∴GF＝6﹣2﹣2＝2，
在Rt△EFG中，EG＝AB＝6，GF＝2，
∴＝2．