人教版2021-2022学年九年级数学下册27.1图形的相似 课后自主提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《27.1图形的相似》课后自主提升训练（附答案）
1．若3x﹣2y＝0，则+1等于（　　）
A． B． C． D．﹣
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（　　）
A． B．2 C． D．
3．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．
其中正确比例式的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各组图形一定相似的是（　　）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形
D．任意两个菱形
6．下列说法中正确的有（　　）
①位似图形都相似；
②两个等腰三角形一定相似；
③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；
④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如果a＝3，c＝12，则a与c的比例中项是　 　．
8．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB＝3：2，那么BF：FC＝　 　．
9．（1）已知＝，求的值．
（2）已知＝＝，求的值．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）求证：BC2＝AC CD；
（2）求∠ABD的度数．
11．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
12．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
（1）当＝时，＝；
（2）当＝时，＝；
（3）当＝时，＝；
…
猜想：当＝时，＝？并说明理由．
13．如图，＝＝，试求和的值．
14．在△ABC中，AD是高，E是AD的中点，连接CE，并延长交AB于点P，过点A作AQ∥BC，交CP的延长线于点Q，BD：CD：AD＝1：2：3．
（1）求的值；
（2）若BD＝5，求CQ的长．
15．已知，如图，点A，B，C分别在△EFD的各边上，且AB∥DE，BC∥EF，CA∥FD，求证：A，B，C分别是△EFD各边的中点．
16．如图，BC∥ED，BD、CE相交于点A，且DE＝4，BC＝8．
（1）若AE＝2，求AC的长；
（2）若BD＝9，求AB的长．
17．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB＝5cm，BE＝3cm，分别求出DE与EC的长．
18．已知如图，E为平行四边形ABCD的边AB的延长线上的一点，DE分别交AC、BC于G、F，试说明：DG是GE、GF的比例中项．
19．已知：如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝12．求DE和EF的长．
20．如图所示，在△ABC中，＝，AB＝12，AE＝6，EC＝4．
（1）求AD的长；
（2）试说明成立．
参考答案
1．解：由题意，得
3x＝2y．
两边都除以3y，得
＝．
+1＝+1＝，
故选：C．
2．解：∵AH＝2，HB＝1，
∴AB＝AH+BH＝3，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝．
故选：A．
3．解：∵EF∥AB，
∴＝，＝，
即＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
即＝，
＝≠，
所以①②④正确，故题中正确的个数为3个．
故选：B．
4．解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∵CE≠AC，
∴．故本答案错误；
B、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
C、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴．
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
D、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，故本答案正确．
故选：D．
5．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
6．解：①正确．
②两个等腰三角形一定相似，错误不一定相似．
③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81，错误周长比应该是2：3，
④不相似，三边不一定成比例．
故选：A．
7．解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝3×12＝36，
∴b＝±6，
故答案为±6
8．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD：DB＝3：2，AB＝AD+DB，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵BC＝BF+CF，＝，
∴＝，
∴BF：CF＝3：2，
故答案为3：2；
9．解：（1）∵＝，
∴2b＝1.5a，
∴＝＝﹣；
（2）设＝＝＝k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝．
10．解：（1）∵AD＝BC，BC＝，
∴AD＝，
∵AB＝AC＝1，
∴CD＝＝．
∴BC2＝（）2＝＝，AC CD＝＝．
∴BC2＝AC CD．
（2）∵BC2＝AC CD，
∴＝．
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴＝＝1，∠DBC＝∠A．
∴BD＝BC＝AD．
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC．
设∠A＝x°，则∠ABD＝∠DBC＝x°，∠C＝∠BDC＝2x°．
∵∠DBC+∠BDC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36．
∴∠ABD＝36°．
11．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，
∴点M是AD的黄金分割点．
12．解：猜想：当＝时，＝；理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；
则，
∴，EG＝nAE；
∵AD是△ABC的中线，
∴EG＝CG，AC＝（2n+1）AE，
∴．
13．解：∵＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
14．解：（1）设BD＝x，则CD＝2x，AD＝3x，BC＝BD+CD＝3x，
∵AQ∥BC，
∴＝＝1，
∴AQ＝CD＝2x，
∴＝＝；
（2）∵BD＝5，BD：CD：AD＝1：2：3，
∴CD＝10，AD＝15，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝7.5，
由勾股定理得，CE＝＝，
∴CQ＝25．
15．证明：如图，∵AB∥DE，BC∥EF，CA∥FD，
∴四边形AFBC，四边形ABDC，四边形ABCE为平行四边形，
∴BF＝CA，BD＝AC，
∴BF＝BD；同理可证：AF＝AE，CD＝CE，
∴A，B，C分别是△EFD各边的中点．
16．解：（1）∵BC∥ED，
∴，即，
解得：AC＝4；
（2）∵BC∥ED，
∴＝＝2，
∴AB＝2AD，
∵BD＝9，
∴AD＝3，AB＝6．
17．解：∵BD是角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠EBD，
∴DE＝BE＝3cm，
∵DE∥AB，
∴＝，即＝，解得CE＝（cm）．
答：DE与EC的长分别为3cm、cm．
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AE，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴DG2＝GE GF，
∴DG是GE、GF的比例中项．
19．解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵AB＝3，BC＝5，DF＝12，
∴3：5＝DE：（12﹣DE），
∴DE＝4.5，
∴EF＝12﹣4.5＝7.5．
20．解：（1）∵＝，
∴＝，
∴AD＝；
（2）∵＝，
∴＝，即＝，
∴．