2021-2022年苏科版九年级数学上册 第2章对称图形——圆 章节提优练习（word版含答案）

圆--章节提优练习
一、选择题
如图，在菱形 中，，以顶点 为圆心，以 长为半径画圆，延长 交 于点 ，则 的度数等于
A． B． C． D．
已知 的直径 ， 是 的弦，，垂足为 ，且 ，则 的长为
A． B．
C． 或 D． 或
如图，圆内接正六边形的边长为 ，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
如图所示， 的半径为 ，弦 的长度是 ，，垂足为 ，则
A． B． C． D．
对于题目：“如图（），平面上，正方形内有一长为 、宽为 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 ．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数 ．
甲：如图（），思路是当 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 ．
乙：如图（），思路是当 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 ．
丙：如图（），思路是当 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 ．
下列正确的是
A．甲的思路错，他的 值对 B．乙的思路和他的 值都对
C．甲和丙的 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
如图，在四边形 中，，，，，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是
A． B． C． D．
如图， 是等腰直角三角形，，以斜边 上的点 为圆心的圆分别与 ， 相切于点 ，，与 分别相交于点 ，，且 的延长线与 的延长线交于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图，矩形 中， 是 的中点，过 ，， 三点的 与边 ， 分别交于点 ，点 ，下列说法：① 与 的交点是 的圆心；② 与 的交点是 的圆心；③ 与 相切，其中正确说法的个数是
A． B． C． D．
如图，在等腰 中，，，按下列步骤作图：
①以点 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 ， 于点 ，，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧相交于点 ，作射线 ；
②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧相交于点 ，，作直线 ，交射线 于点 ；
③以点 为圆心，线段 长为半径作圆．
则 的半径为
A． B． C． D．
如图所示， 是 的直径，弦 ，，，则阴影部分图形的面积为
A． B． C． D．
二、填空题
如图所示，若用半径为 ，圆心角为 的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 ，直线 的解析式为 ．若直线 与半圆只有一个交点，则 的取值范围是 ．
如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：），直线 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 ．
如图，等边三角形 内接于 ，点 在 上，，则 ．
已知 的直角边 ，斜边 ，在直线 上如图所示位置开始滚动，第一次滚动绕 点旋转至线段 与直线 重合，第二次绕 点滚动至线段 与直线 重合，依此类推．当 滚动一周时，点 移动的路程为 ，当 滚动 次时点 距它初始位置的长度为 ．
在 中，若 ，．则 的面积的最大值为 ．
如图直线 与 轴、 轴分别交于点 ，， 是 的中点，点 在直线 上，以 为直径的圆与直线 的另一交点为 ，交 轴于点 ，，已知 ，，则 的长是 ．
如图，在 中，， 在 内自由移动，若 的半径为 ，且圆心 在 内所能到达的区域的面积为 ，则 的周长为 ．
三、解答题
在 中， 为直径， 为 上一点．
(1) 如图①，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，若 ，求 的大小；
(2) 如图②， 为优弧 上一点，且 的延长线经过 的中点 ，连接 与 ，相交于点 ，若 ，求 的大小．
如图， 为 的直径， 为 上一点， 和过 点的直线互相垂直，垂足为 ，且 平分 ．
(1) 求证： 为 的切线；
(2) 若 的半径为 ，，求 的长．
如图 ， 为 的直径，点 为 上一点， 平分 交 于点 ，交 于点 ．
(1) 求证： 为等腰直角三角形．
(2) 如图 ， 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，证明： 为 的切线．
(3) 如图 ，点 为弧 的中点，连接 ，交 于点 ，若 ，求 的长．
如图，已知 是 的直径， 是弦，弦 平分 交 于 ，弦 于 ，交 ．
(1) 求证：；
(2) 当 满足什么条件时， 是等边三角形？并说明理由．
对于平面直角坐标系 中的点 和 ，给出如下定义：若 上存在点 ，使得 ，则称 为 的半角关联点．
当 的半径为 时，
(1) 在点 ，， 中， 的半角关联点是 ；
(2) 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，若直线 上的点 是 的半角关联点，求 的取值范围．
如图，在边长为 的正方形 中，点 为 上一动点 ，以 为圆心， 的长为半径的圆交边 于点 ，连接 ，，过点 作 的切线交边 于点 ．
(1) 求证：．
(2) 在点 的运动过程中，设 ：
①求 的最大值，并求此时 的半径长；
②判断 的周长是否为定值？若是，求出 的周长；否则，请说明理由．
如图，抛物线 与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ，线段 的中垂线与对称轴 交于点 ，与 轴交于点 ，与 交于点 ，对称轴 与 轴交于点 ．
(1) 求抛物线的函数表达式．
(2) 求点 的坐标．
(3) 点 为 轴上一点， 与直线 相切于点 ，与直线 相切于点 ．求点 的坐标．
(4) 点 为 轴上方抛物线上的点，在对称轴 上是否存在一点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 点坐标．若不存在，请说明理由．
如图 ，点 是 的内心， 的延长线交 于点 ，交 的外接圆 于点 ，连接 ，过点 作直线 ，使 ．
(1) 求证：．
(2) 求证，直线 是 的切线．
(3) 如图 ，若 过圆心 ，，，求 内切圆的半径长．
已知： 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ， 是 上一点，连接 ，．
(1) 如图 ，求证：；
(2) 如图 ，点 在 上，， 于点 ，求证：；
(3) 如图 ，在（）的条件下，连接 并延长交 于点 ，若 为 直径，当 ， 时，求线段 的长．
对于平面直角坐标系 中的点 和 ，给出如下定义：若存在过点 的直线 交 于异于点 的 ， 两点，在 ，， 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点 为 的相邻点，直线 为 关于点 的相邻线．
(1) 当 的半径为 时，
① 分别判断在点 中，是 的相邻点有 ；
②请从 ① 中的答案中，任选一个相邻点，在图 中做出 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程．
③ 点 在直线 上，若点 为 的相邻点，求点 横坐标的取值范围；
(2) 的圆心在 轴上，半径为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，，若线段 上存在 的相邻点 ，直接写出圆心 的横坐标的取值范围．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理
2. 【答案】C
【解析】连接 ，．
的直径 ，，，
，，
当 点位置如图所示时，
，，，
，
，
；
当 点位置如图所示时，同理可得 ，
，
，
在 中，．
【知识点】垂径定理
3. 【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
4. 【答案】A
【解析】由题意可得，，，，
，
．
【知识点】垂径定理、勾股定理
5. 【答案】B
【知识点】勾股定理、三角形的外接圆与外心、矩形的性质
6. 【答案】A
【解析】 在四边形 中，，，
四边形 是平行四边形，
，
由作图过程可得 ，
，
是等边三角形，
的内切圆半径是 ．
【知识点】三角形的内切圆，内心
7. 【答案】B
【解析】 是等腰直角三角形，，以斜边 上的点 为圆心的圆分别与 ， 相切于点 ，，与 分别相交于点 ，，且 的延长线与 的延长线交于点 ，
连接 ，，
由切线的性质可得 的半径，，
是正方形，
由 的面积可知 ，
，，，
由切割线定理可得 ，
，
或 （舍去），
，，
，
，
，．
【知识点】切线的性质、基本定理、两角分别相等
8. 【答案】C
【解析】连接 ，，作 于点 ，连接 ，，如图．
是 的中点，
，
垂直平分 ，
点 在 上．
，
，
与 相切，故③正确．
，
不是 的中点，
圆心 不是 与 的交点，故①不正确．
，
，
四边形 为 的内接矩形，
与 的交点是 的圆心，故②正确．
【知识点】圆周角定理推论、切线的判定
9. 【答案】D
【解析】如图，设 交 于 ．
， 平分 ，
，，
，
在 中，则有 ，解得 ．
【知识点】垂径定理
10. 【答案】D
【解析】设弦 和直径 相交于点 ，
因为弦 ，
所以 ，．
又 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，则阴影部分的面积等于扇形 的面积．
在 中，由勾股定理可得 ，
所以 ．
【知识点】垂径定理、弧长面积的计算、圆周角定理
二、填空题
11. 【答案】
【知识点】圆锥的计算
12. 【答案】 或
【解析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 或从直线过点 开始到直线过点 结束（不包括直线过点 ）．
直线 与 轴所形成的锐角是 ．
当直线和半圆相切于点 时，则 垂直于直线，．
又 ，则 ，即点 ，
把点 的坐标代入直线解析式，得 ，
当直线过点 时，把点 代入直线解析式，得 ．
当直线过点 时，把点 代入直线解析式，得 ．
即当 或 时，直线和圆只有一个公共点．
【知识点】勾股定理、切线的性质、一次函数的图象与性质
13. 【答案】
【解析】如图，设圆心为 ，连接 ，，
直线 是它的对称轴，
，．
，
．
解得 ．
．
能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 ．
【知识点】勾股定理、垂径定理
14. 【答案】
【解析】 是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
【知识点】等边三角形三个角相等，都等于60°、圆周角定理及其推理
15. 【答案】 ；
【解析】在 中，，，，
，
，
，
第一次旋转，点 移动的路程为 ，
第二次旋转以点 为旋转中心，
故点 没有移动，
第二次旋转以点 为旋转中心，旋转 ，
点 移动的路程为 ，
当 滚动一周时，点 运动的路程为：，
滚动一周需要滚动 次，
每滚动 次，点 距它的初始位置的长度为 ，
．
当 滚动 次时， 向右滚动了 次，
，
当 滚动 次时，点 距它初始位置的长度为 ．
【知识点】弧长的计算
16. 【答案】
【解析】作 的外接圆 ，过 作 于 ．
弦 已确定，
要使 的面积最大，只要 取最大值即可，
如图所示，当 过圆心 时， 最大，
， 过 ，
（垂径定理），
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂径定理、三角形的外接圆与外心、勾股定理
17. 【答案】
【解析】如图，设 的中点为 ，设直线 交直线 于 ，直线 交 轴于 ，作 于 ，连接 ，作 于 ， 于 ．
是 的直径，
，
直线 与 轴、 轴分别交于点 ，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
设 ，则 ，
，，
，
．
在 中，由勾股定理，得：．
解得：．
．
【知识点】勾股定理、一次函数的解析式、圆周角定理及其推理
18. 【答案】
【解析】如图，由题意点 所能到达的区域是 ，连接 ，延长 交 于 ，作 于 ， 于 ，作 于 ．
因为 ，，，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
设 ，，
因为 ，
所以 （舍弃），
所以 ，
因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，，，
因为 ，，，
所以 ，
所以 ，，，设 ，
在 中，则有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 的周长 ．
【知识点】性质与判定综合（D）、切线的性质、性质与判定综合(D)
三、解答题
19. 【答案】
(1) 连接 ，如图①，
为切线，
，
，
，
，
，
．
(2) 如图②，
点 为 的中点，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的性质、三角形的外角及外角性质、垂径定理
20. 【答案】
(1) 如图，连接 ，
，
．
平分 ，
．
．
．
，
．
是 的半径，
为 的切线；
(2) 如图，连接 ，则 ，
，，
．
．
．
的半径为 ，，
．
．
【知识点】圆周角定理推论、两角分别相等、切线的判定
21. 【答案】
(1) 是 的直径，
，
平分 ，
，
，
是等腰直角三角形．
(2) 由旋转的性质得，，，
，
，
，
，
，
，，
，
为 的切线．
(3) 点 为 的中点，
，
取 的中点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理、切线的判定、边角边、圆周角定理及其推理、直角三角形斜边的中线、等腰直角三角形
22. 【答案】
(1) 连接 ，
， 是 的直径，
，
．
弦 平分 ，
．
，
，
．
(2) 当 时， 是等边三角形．
理由：
弦 平分 ，
．
是 的直径，
，
，
．
，
，
是等边三角形．
【知识点】垂径定理、圆周角定理、等边三角形
23. 【答案】
(1) ，
(2) 由直线 的解析式得 ，，
以 为圆心， 长为半径画圆，交直线 于点 ，
可得 ，
设小圆 与 轴负半轴的交点为 ，
连接 ，，
，，
，，
，
，，
是等边三角形，
轴，
点 的纵坐标为 ，代入 可得，横坐标为 ，
，
．
【知识点】圆的定义、特殊角的正切值、30度所对的直角边等于斜边的一半、一次函数与一元一次方程的关系
24. 【答案】
(1) 切 于点 ，
，
，
，
，
，
,
．
(2) ①由(1)：，
，
，
，
，
，
当 时， 的值最大，最大值为 ，
设此时半径为 ，则 ，，
在 中，
，
，
解得 ．
即此时半径长为5．
② 的周长为定值， 的周长 ，
在 中，，，
即：，
，，
，
即 ，
，
解得 ，，
的周长 ．
【知识点】相似三角形的性质、切线的性质、两角分别相等、勾股定理
25. 【答案】
(1) 抛物线过点 ，，
设抛物线表达式为：，
把 代入得，
，
，
抛物线表达式为：．
(2) 由（）抛物线对称轴为直线 ，
线段 的中垂线与对称轴 交于点 ，
点 在对称轴上，
设点 坐标为 ，
过点 作 于 ，连 ，，
，
在 和 中，
，，
，
解得：，
点 坐标为 ．
(3) 点 坐标为 ， 点坐标为 ，
，
为 中垂线，
，
在 和 中，
，
，
，，，
设 的半径为 ， 与直线 和 都相切，
如图：
①当圆心 在直线 左侧时，连 ，，则 ，
，
四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，，
点 坐标为 ．
②同理，当圆心 在直线 右侧时，
可求 ，，
坐标为 ，
点 坐标为 或 ．
(4) ，，．
【解析】
(4) 存在．
当点 坐标为 时，
①若 和 为平行四边形对边，则有 ，
当 时，，
，
点 坐标为 ．
②若 ， 为平行四边形对边时，， 点到 距离相等，
则点 横坐标为 ，
则 纵坐标为 ，
由平行四边形中心对称性可知，点 到 的垂直距离等于点 到点 的垂直距离，
当点 在 点上方时，点 纵坐标为 ，
此时点 坐标为 ，
当点 在 轴下方时，点 坐标为 ，
当点 坐标为 时，所求 点不存在．
【知识点】切线的性质、平行四边形及其性质、二次函数的解析式、勾股定理
26. 【答案】
(1) ，
，
，
．
(2) 连接 ，，，．
点 是 的内心，
平分 ，
，
，
，
又 ，
垂直平分 ，
，
，
，
直线 是 的切线．
(3) 设 与 交于 ．
，，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，，
中，，
，解得 ，
，
，
，，
，
为直径，
，
内切圆的半径长为 ．
【知识点】圆周角定理推论、垂径定理、切线的判定
27. 【答案】
(1) 如图 中，连接 ．
是 的切线，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
．
(2) 如图 中，连接 ．
，
，
，
，
，，
，
．
(3) 如图 中，连接 ，，作 于 ， 于 ．
， 是直径，
，
，
，
，
，，，
，
，，设 ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
在 中，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
【知识点】圆周角定理及其推理、等腰三角形的判定、切线的性质、垂径定理
28. 【答案】
(1) ① ，
②连接 ，过 作 的垂线交 于 ， 两点．
③因为 的半径为 ，所以点 到 的距离小于等于 ，且不等于 时时，符合题意.
因为点 在直线 上，
所以 ．
(2)
【知识点】一次函数的解析式、圆的相关元素