2021-2022学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数5.1-5.2小节巩固练习(Word版，附答案解析）

二次函数--5.1--5.2小节巩固练习
一、选择题
二次函数 的图象如图，给出下列四个结论：① ，② ，③ ，④ ．其中结论正确的是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
已知二次函数 ，则函数图象随着 的逐渐增大而
A．先往右上方移动，再往右平移 B．先往左下方移动，再往左平移
C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往左下方移动，再往左上方移动
二次函数 的图象如图，当 时，
的取值范围是
A． B．
C． D． 或
如图，二次函数 的图象的对称轴是直线 ，则以下四个结论中：① ，② ，③ ，④ ．
正确的个数是
A． B． C． D．
已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而增大，且 时， 的最大值为 ，则 的值为
A． B． C． D．
如果 ，，，那么二次函数 的图象大致是
A． B． C． D．
如图是抛物线 的部分图象，其顶质点坐标为 ，且与 轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是
A． B． C． D．
若抛物线 的顶点在第一象限，与 轴的两个交点分布在原点两侧，则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
将二次函数 在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线 与这个新图象有 个公共点，则 的值为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二次函数 （，， 为常数，且 ）中的 与 的部分对应值如下表：
下列结论：
（1）；
（2）当 时， 的值随 值的增大而减小．
（3） 是方程 的一个根；
（4）当 时，．
其中正确的个数为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
二次函数 的开口方向 ．
抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围为 ．
如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点 的纵坐标为 ，现将抛物线向右平移 个单位，得到抛物线 ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③阴影部分的面积为 ；④若 ，则 ．
将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得的抛物线的解析式为 ．
如图，点 是双曲线 上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，连接 ，．当点 在曲线 上运动，且点 在 的上方时， 面积的最大值是 ．
在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线 向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴没有交点，则 的最小值为 ．
如图，点 是抛物线 对称轴上的一点，连接 ，以 为旋转中心将 逆时针旋转 得到 ，当 恰好落在抛物线上时，点 的坐标为 ．
已知当 和 时，多项式 的值相等，且 ，则当 时，多项式 的值等于 ．
三、解答题
回答以下问题．
(1) 画出函数 的图象；
(2) 试判断点 是否在上述函数图象上．
已知二次函数 的图象过点 ，当 时，函数的最小值为 ，求二次函数的表达式．
已知抛物线 经过点 ，求抛物线的解析式，并写出 关于对称轴的对称点 的坐标．
如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
①用含 的代数式表示线段 的长．
②连接 ，，求 的面积最大时点 的坐标．
(3) 设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一点，是否存在这样的点 和点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，．点 的坐标是 ，抛物线 经过 ， 两点且交 轴于点 ．点 为 轴上一点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接 ，设点 的横坐标为 ．
(1) 求点 的坐标．
(2) 求抛物线的表达式．
(3) 当以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值．
如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
(3) 设抛物线上有一个动点 ，当点 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 ，并求出此时 点的坐标．
已知二次函数 ．
(1) 求函数图象的顶点坐标，并在图中画出这个函数的图象；
(2) 根据图象，直接写出：
①当函数值 为正数时，自变量 的取值范围；
②当 时，函数值 的取值范围．
定义：在平面直角坐标系 中，直线 称为抛物线 的关联直线．
(1) 求抛物线 的关联直线；
(2) 已知抛物线 与它的关联直线 都经过 轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
(3) 如图，顶点在第一象限的抛物线 与它的关联直线交于点 ，（点 在点 的左侧），与 轴负半轴交于点 ，连接 ，．当 为直角三角形时，求 的值．
如图 ，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴相交于 ， 两点，顶点为 ，，设点 是 轴的正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 ，得到新的抛物线 ．
(1) 求抛物线 的函数表达式；
(2) 若抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，求 的取值范围；
(3) 如图 ， 是第一象限内抛物线 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 在抛物线 上的对应点为 ，设 是 上的动点， 是 上的动点，试探究四边形 能否成为正方形，若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
定义：在平面直角坐标系中， 为坐标原点，设点 的坐标为 ，当 时，点 的变换点 的坐标为 ；当 时，点 的变换点 的坐标为 ．
(1) 点 的变换点 的坐标是 ．
(2) 点 的变换点 在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小是 ．
(3) 点 在抛物线 上，点 的变换点 的坐标是 ，求 的值．
(4) 点 在抛物线 的图象上，以线段 为对角线作正方形 ，设点 的横坐标为 ，当正方形 的对角线垂直于 轴时，直接写出 的取值范围．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】 抛物线开口向下，
，结论①正确．
抛物线对称轴为直线 ，
，
，结论②错误．
抛物线与 轴有两个交点，
，结论③正确．
当 时，，
，结论④正确．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数与方程
2. 【答案】D
【解析】二次函数 ，
当 时，
顶点坐标为 ；
当 时，
，
顶点坐标为 ；
当 时，
顶点坐标为 ．
故函数图象随着 的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．
【知识点】y=ax^2+bx+c的图象、二次函数的图象变换
3. 【答案】A
【知识点】二次函数的图象与性质
4. 【答案】B
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数与方程
5. 【答案】B
【知识点】二次函数的图象与性质
6. 【答案】D
【知识点】二次函数的图象与性质
7. 【答案】C
【解析】① 开口向上，
，对称轴在 轴右侧，
， 异号，即 ，
，
，故①正确；
②根据对称性可知，抛物线与 轴的另一个交点应该在 和 之间，所以当 时，，则 ，故②不正确；
③ 顶点坐标为 ，
，，，故③正确；
④ 抛物线与直线 有一个公共点，
抛物线与直线 有两个公共点，
一元二次方程 有两个不相等的实数根；故④正确；
所以正确的个数有 个．故选：C．
【知识点】二次函数与方程、二次函数的图象与性质
8. 【答案】C
【解析】 抛物线 的顶点在第一象限，与 轴的两个交点分布在原点两侧，
，，
，
在第三象限．
【知识点】二次函数的图象与性质
9. 【答案】A
【解析】如图所示，过点 的直线 与新抛物线有三个公共点，
将直线向下平移到恰在点 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，
令 ，解得：，即点 坐标 ，
将一次函数与二次函数表达式联立得：，
整理得：，，解得：，
当一次函数过点 时，将点 坐标代入： 得：，解得：，
综上，直线 与这个新图象有 个公共点，则 的值为 或 ．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数与一次函数综合
10. 【答案】B
【解析】提示：（1）由图表中数据画图可知二次函数开口向下，即 ；
又 时，，所以 ，所以 ，故（1）正确；
（2） 二次函数 开口向下，且对称轴为 ，
当 时， 的值随 值的增大而减小，故（2）错误；
（3） 时，，
．
，
，
，
是方程 的一个根，故（3）正确；
（4） 时，，
时，．
时，，且函数有最大值，
当 时，，故（4）正确．
【知识点】二次函数的图象与性质
二、填空题
11. 【答案】向下
【解析】二次函数 中 ，
故二次函数 的开口方向向下．
故答案为：向下．
【知识点】二次函数的图象与性质
12. 【答案】 且
【解析】 抛物线 与 轴有两个交点，
解得 且 ．
【知识点】二次函数与方程、二次函数的概念
13. 【答案】③④
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的图象与性质
14. 【答案】
【解析】抛物线 的顶点坐标为 ，把点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位所得对应点的坐标为 ，所以平移后的抛物线的解析式为 ．
【知识点】二次函数的图象变换
15. 【答案】
【知识点】三角形的面积、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质
16. 【答案】
【解析】 点 和 是抛物线 上的两点，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
将抛物线 向上平移 （ 是正整数）个单位，平移后的图象与 轴没有交点，
的最小值是 ．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数与方程
17. 【答案】 或
【解析】 抛物线 对称轴为直线 ，
设点 坐标为 ，
如图所示，作 于点 ，作 ，
，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
（），
，，
则点 坐标为 ，
代入 得：，
解得： 或 ，
点 坐标为 或 ．
【知识点】二次函数与三角形综合、二次函数的图象变换
18. 【答案】
【解析】 和 时，多项式 的值相等，
二次函数 的对称轴为直线 ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
，
，，
当 时，．
【知识点】二次函数的图象与性质
三、解答题
19. 【答案】
(1) 列表如下：描点，连线：
(2) 当 时，，
点 不在函数 的图象上．
【知识点】描点法画二次函数图像、二次函数的图象与性质
20. 【答案】 ．
【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质
21. 【答案】 ，．
【知识点】二次函数的图象变换
22. 【答案】
(1) 抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ，
解得
抛物线解析式为 ．
(2) 如图：
①设 ，
将点 ， 代入得直线 解析式为 ．
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
，
．
答：用含 的代数式表示线段 的长为 ．
②
当 时， 有最大值．
当 时，．
．
答： 的面积最大时点 的坐标为 ．
(3) 点 的坐标为 ，，．
【解析】
(3) 存在这样的点 和点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点 ，
，
，
根据菱形的四条边相等，
，
．
当 时，．
答：点 的坐标为 ，，．
【知识点】二次函数的解析式、一次函数的图象与性质、坐标平面内图形的面积、二次函数的图象与性质、菱形的判定
23. 【答案】
(1) 令 ，解得：，
点 坐标为 ．
(2) 把点 ， 坐标代入二次函数表达式，
得 解得：
故：二次函数表达式为 ．
(3) 中，令 ，则 ，故 ，
中，令 ，则 ，故 ，
，
设点 ，则 ，
则 ，
以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，
则：，即 ，
当 时，解得： 或 （舍去）；
当 时，解得 ．
故：．
【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系、平行四边形的判定
24. 【答案】
(1) 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
方程 的两根为 或 ，
，，
，，
二次函数解析式是 ．
(2) ，
抛物线的对称轴 ，顶点坐标 ．
(3) 设 的纵坐标为 ，
，
，
，
，
，
把 代入解析式得，，解得，，
把 代入解析式得，，解得，，
点 在该抛物线上滑动到 或 或 时，满足 ．
【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法
25. 【答案】
(1) ，
图象的顶点坐标为 ．
图象如图．
(2) ①当 时，函数值 为正数．
②当 时，函数值 的取值范围为 ．
【知识点】描点法画二次函数图像、二次函数与不等式
26. 【答案】
(1)
关联直线为
(2) 抛物线 与它的关联直线 都经过 轴上同一点，
，，
可设抛物线的顶点式为 ，
则其关联直线为 ，
解得 或
抛物线 或 ．
(3) 由题意：，，，
，，，
显然 且 ，故 不能成为 的斜边，
当 时： 解得 ，
当 时： 解得 ，
抛物线的顶点在第一象限
，即 或
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的解析式、二次函数与方程、勾股定理
27. 【答案】
(1) 由题 ，，
点 ，点 ，
设抛物线 的函数表达式为：，
又 经过点 ，
解得 ，
，
．
(2) 方法一：
记抛物线 的顶点为点 ，
点 与点 关于点 中心对称，
由点 ，点 可知点 ，
抛物线 的对称轴记为 ，应有 ：，
抛物线 和直线 交点记为点 ，可求得为 ，
拋物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，
应满足点 应恒在点 的下方，
，
，
，
，
或 （舍），
．
(3) 方法一：
由题，设点 到两坐标轴距离相等，
，
又 点 在第一象限，
，
解得：，（舍），
点 ，由中心对称性点 ，
四边形 是正方形，
点 和点 应关于点 对称，
过点 作平行于 轴，垂直于 轴的垂线 ，
过点 作 于点 ，
过点 作平行于 轴，垂直于 轴的垂线，，
过点 作 于点 ，
若四边形 为正方形，则 为等腰直角三角形，
，
，，
设点 ，
①当 时，解得有 ，（舍）；
②当 时，解得 ，
（舍）或 ；
③当 时，解得 ，，
综上，当 时，四边形 是正方形．
【解析】
(2) 方法二：
由题意抛物线 的顶点坐标为 ，设抛物线 的解析式为：
，
由 消去 得到 ，
由题意，拋物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，
则有 解得：．
满足条件的 的取值范围为 ．
(3) 方法二：
在第一象限抛物线上，且到两坐标轴距离相等，
联立 可得 ，
假设存在 ，使四边形 为正方形，
与 关于 中心对称，
为 与 交点，
，，
①如图：
此时 ，
又 在 上，
则 ，
解得 ，，
在 轴正半轴，
；
②如图：
此时 ，
代入 ，
，
解得：，，
在 轴正半轴，
，
综上：存在，．
【知识点】y=ax^2+bx+c的图象、二次函数与四边形综合、二次函数与方程、二次函数的解析式、二次函数与不等式、二次函数的图象变换
28. 【答案】
(1)
(2) ；
(3) ，
若 为 ，此时 ，
代入 ，得 ，
即 （舍）或 ，
若 为 ，此时 ，解得 或 ．
(4) 的取值范围是 ，，．
【解析】
(1) 中，，故 ．
(2) 中，，故 ，
，
此时 ，，
．
(4) 当 时，点 与点 关于 轴对称，此时 轴，
．
当 时， 轴，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
将点 代入 ，得 ，
解得 ，（不合题意，舍），
．
轴，则 轴，
，
将点 代入 ，得 ，
解得 ，（舍），
．
综上， 的取值范围是 ，，．
【知识点】反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与方程、坐标平面内图形轴对称变换、勾股定理、正方形的性质