2021-2022学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数5.1--5.2小节提优练习（Word版，附答案解析）

二次函数--5.1--5.2小节提优练习
一、选择题
将 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，所得函数的对称轴和最小值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
如图，， 分别为 图象上的两点，且直线 垂直于 轴．若 ，则直线 的解析式为
A． B． C． D．
如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ；② ；③ ；④ 当 时，．其中正确的个数为
A． B． C． D．
已知二次函数 （ 为常数），在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最小值为 ，则 的值为
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
二次函数 的图象如图所示，下列说法：
① ；
②当 时，；
③ ；
④若 ， 在函数图象上，当 时，．
其中正确的是
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④
二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数根，则 的最大值为
A． B． C． D．
如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，过其顶点 的一条直线 与该抛物线的另一个交点为 ．若要在 轴上找一点 ，使得 最小，则点 的坐标为
A． B． C． D．
如图，抛物线 ．将该抛物线在 轴和 轴下方的部分记作 ，将 沿 轴翻折记作 ， 和 构成的图形记作 ．关于图形 ，给出如下四个结论，其中错误的是
A．图形 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．图形 上任意一点到原点的距离都不超过
C．图形 的周长大于
D．图形 所围成的区域的面积大于 且小于
如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为
A． B． C． D．
如图，已知抛物线 ，把此抛物线沿 轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点 ， 且平行于 轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为 ，平移的距离为 ，则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
二、填空题
如图，抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ，点 ， 分别是直线 与抛物线上的点，若点 ，，， 围成的四边形是平行四边形，则点 的坐标为 ．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过正方形 的三个顶点 ，，，则 的值是 ．
已知二次函数 的图象与 轴交于 和 ，其中 ，与 轴交于正半轴上一点．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的序号是 ．
设抛物线 ，其中 为实数．
（）若抛物线经过点 ，则 ；
（）将抛物线 向上平移 个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
将抛物线 向上平移 个单位长度后，经过点 ，则 的值是 ．
已知抛物线 过点 ，且抛物线上任意不同两点 ， 都满足：当 时，；当 时，．以原点 为圆心， 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 ，，且 在 的左侧， 有一个内角为 ，则抛物线的解析式为 ．
已知当 和 时，多项式 的值相等，且 ，则当 时，多项式 的值等于 ．
如图，一段抛物线：，记为 ，它与 轴交于点 ，；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ； 如此进行下去，直至得 ，若 在第 段抛物线 上，则 的值为 ．
三、解答题
已知函数 与 ．
(1) 完成下表：
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y=-（x+1）2
Y=-（x-1）2
(2) 建立平面直角坐标系，并在坐标系中作出二次函数 与 的图象；
(3) 抛物线 与 之间有什么关系？它们是轴对称图形吗？它们的对称轴和顶点坐标分别是什么？
(4) 随 的增大， 分别是如何变化的？
已知在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 和点 ．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 将这个二次函数的图象向上平移，交 轴于点 ，其纵坐标为 ，请用 的代数式表示平移后函数图象顶点 的坐标；
(3) 在第（）小题的条件下，如果点 的坐标为 ， 平分 ，求 的值．
有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与 轴的交点坐标分别为 ，（点 在点 的右侧）；
②对称轴是 ；
③该函数有最小值是 ．
(1) 请根据以上信息求出二次函数表达式；
(2) 将该函数图象中 部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“”，试结合图象分析：平行于 轴的直线 与图象“”的交点的个数情况．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1) 若点 为直线 上方抛物线上的动点，当 的面积最大时，求此时 点的坐标；
(2) 若点 是抛物线对称轴上的动点，点 是抛物线上的动点，当以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时 点的坐标．
有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
(1) 函数 的自变量 的取值范围是 ；
(2) 下表是 与 的几组对应值．
X ··· -3 -2 -1 - - 1 2 3 ···
Y ··· - - - m ···
求 的值；
(3) 如下图，在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4) 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 ，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： ．
如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，对称轴是直线 ，顶点为点 ，抛物线与 轴交于点 ．
(1) 求抛物线的表达式和点 的坐标；
(2) 将上述抛物线向下平移 个单位，平移后的抛物线与 轴正半轴交于点 ，求 的面积；
(3) 如果点 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，连接 交线段 于点 ，，求点 的坐标．
将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移 个单位长度得到抛物线 ．
(1) 直接写出抛物线 ， 的解析式；
(2) 如图（），点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，求点 的坐标；
(3) 如图（），直线 （， 为常数）与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点；直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点．求证：直线 经过一个定点．
对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 ．
(1) 分别判断函数 和 是不是有界函数．若是有界函数，求其边界值．
(2) 若函数 （，）的边界值是 ，且这个函数的最大值也是 ，求 的取值范围．
(3) 将函数 （，）的图象向下平移 个单位，得到的函数的边界值是 ，当 在什么范围时，满足 ．
如图 ，抛物线 与 轴交于 ，（ 在 的左侧）两点，与 轴交于点 ，将直线 沿 轴正方向平移 个单位得到直线 ，将抛物线的对称轴沿 轴正方向平移 个单位得到直线 ．
(1) 求直线 的解析式；
(2) 如图 ，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 ， 与直线 分别交于点 ，，过点 作 于点 ， 是线段 上一动点，过 作 于点 ，连接 ，当 的面积最大时，求 的最小值；
(3) 如图 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，点 是直线 上一点，在直角坐标平面内是否存在一点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知关于 的二次函数 在 和 时函数值相等．
(1) 求 的值．
(2) 若该二次函数的图象与直线 的一个交点为 ，求它的解析式．
(3) 在（）的条件下，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，，将线段 向右平移 个单位，同时将该二次函数在 的部分向左平移 个单位后得到的图象记为 ，请结合图象回答，当图象 与平移后的线段有公共点时， 的取值范围．
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】将 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，
所得图象的函数表达式是 即 ，
所以对称轴为 ，最小值为 ．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的图象与性质
2. 【答案】C
【知识点】二次函数的图象与性质、一次函数的解析式
3. 【答案】C
【解析】①开口向下，故 ，①错误；
②对称轴为直线 ，故 ，，，②正确；
③当 时，，③正确
④由图得，当 时，，④正确．
【知识点】二次函数的图象与性质
4. 【答案】B
【解析】二次函数的对称轴为直线 ，以下分情况讨论．
当 时，当 时， 取得最小值，即 ，解得 ，（舍去）；
当 时，当 时， 取得最小值 ，不符合题意；
当 时，当 时， 取得最小值，即 ，解得 ，（舍去）．
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值
5. 【答案】B
【解析】 函数图象的对称轴为：，
，即 ，①正确；
由图象可知，当 时，，②错误；
由图象可知，当 时，，
，
，
，③正确；
抛物线的对称轴为 ，开口方向向上，
若 ， 在函数图象上，
当 时，；当 时，，
故④错误．
【知识点】二次函数的图象与性质
6. 【答案】B
【解析】提示：令 ，则 是由二次函数 向上平移 个单位得到的函数，由图象可知二次函数 向上平移三个单位后与 轴只有一个交点，再向上平移没有交点，所以 的最大值为 ．
【知识点】二次函数的图象与性质
7. 【答案】B
【解析】如图，作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点．
将 点坐标代入抛物线，并联立对称轴，
得 解得
，
， 点关于 轴的对称点 ，
设 的解析式为 ，
将 ， 代入函数解析式，
得 解得
的解析式为 ，
当 时，，即 ．
【知识点】轴对称之最短路径、二次函数的图象与性质、一次函数的解析式
8. 【答案】C
【知识点】二次函数的图象变换
9. 【答案】C
【解析】由题意，作 轴，，垂足分别为 ，．
设 点坐标为 ，
则 ，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，，（舍去），
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】二次函数的图象与性质、角角边
10. 【答案】B
【解析】如图，作出抛物线的对称轴 ．
因为抛物线是上下平移，所以两个抛物线是同一条对称轴．
设对称轴与两抛物线分别交于 、 两点，直线 与抛物线交于 、 ，直线 与抛物线交于 、 ，则 ，
所以阴影部分的面积等于两个平行四边形的面积之和，即 ．
【知识点】平行四边形、函数关系的表示、二次函数的图象变换
二、填空题
11. 【答案】 或 或
【解析】 抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，
，．
当 为平行四边形的边时，，且 ，
线段 可由线段 平移得到．
点 在直线 上，
①当点 的对应点为 时，如图，
需先将 向左平移 个单位长度，此时点 的对应点 的横坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
．
②当点 的对应点为 时，
同理，先将 向右平移 个单位长度，可得点 的对应点 的横坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
；
当 为平行四边形的对角线时，可知 的中点坐标为 ，
在直线 上，
根据对称性可知 的横坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
．
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【知识点】平行四边形的判定、二次函数的图象与性质、二次函数与方程
12. 【答案】
【知识点】二次函数的图象与性质、勾股定理、正方形的性质
13. 【答案】②④
【解析】 抛物线与x轴的交点为 和 ，，与 轴交于正半轴，
．
，
．
，，故①错误，③错误；
抛物线与 轴有两个交点，
．
，故②正确；
抛物线与 轴的交点有一个为 ，
．
．
，（已证），
，．
，，
，故④正确．
【知识点】二次函数的图象与性质
14. 【答案】 ；
【解析】（）点 代入抛物线解析式 ，
得 ，解得 ．
（） 向上平移 个单位可得，，
所以 ，
所以抛物线顶点的纵坐标 ，
因为 ，
所以 的最大值为 ．
【知识点】二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的图象变换、二次函数的顶点
15. 【答案】
【解析】将抛物线 向上平移 个单位长度后，
表达式为：，
经过点 ，代入得：，
则 ．
【知识点】二次函数的图象变换
16. 【答案】
【解析】 抛物线过点 ，
，
当 时，，由 ，得到 ，
当 时， 随 的增大而增大，
同理当 时， 随 的增大而减小，
抛物线的对称轴为 轴，且开口向下，即 ，
以 为圆心， 为半径的圆与抛物线交于另两点 ，，如图所示，
为等腰三角形，
中有一个角为 ，
为等边三角形，且 ，
设线段 与 轴的交点为点 ，则有 ，且 ，
，，
在 的左侧，
的坐标为 ，
点在抛物线上，且 ，，
，
解得：，
则抛物线解析式为 ．
【知识点】解直角三角形、二次函数的图象与性质、圆的对称性
17. 【答案】
【解析】 和 时，多项式 的值相等，
二次函数 的对称轴为直线 ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
，
，，
当 时，．
【知识点】二次函数的图象与性质
18. 【答案】
【解析】令 ，则 ，解得 ，，
，
由图可知，抛物线 在 轴下方，
相当于抛物线 向右平移 个单位得到 ，
再将 绕点 旋转 得 ，
抛物线 解析式为 ，
在第 段抛物线 上，
．
【知识点】二次函数的图象变换
三、解答题
19. 【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) 抛物线 和 都可以看作是由 平移得到的，即它们的开口方向相同、开口大小相同，形状相同．它们是轴对称图形，它们的对称轴分别是直线 ，，顶点坐标分别是 ，．
(4) 二次函数 ： 时， 随 增大而减小， 时， 随 增大而增大；二次函数 ： 时， 随 增大而减小， 时， 随 增大而增大．
【知识点】描点法画二次函数图像、y=a(x-h)^2的图象、二次函数的增减性、二次函数的图象变换
20. 【答案】
(1) ．
(2) ．
(3) ．
【知识点】二次函数的解析式、角平分线的性质、二次函数的顶点、二次函数的图象变换、二次函数与方程、坐标平面内图形轴对称变换
21. 【答案】
(1) 由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为 ，
设二次函数的表达式为 ．
该函数图象经过点 ，
，解得 ．
二次函数解析式为 ．
(2) 如图所示．
当 时，直线 与 有一个交点；
当 时，直线 与 有两个交点；
当 时，直线 与 有三个交点；
当 时，直线 与 有两个交点；
当 时，直线 与 有一个交点．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的解析式
22. 【答案】
(1) 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
，，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
抛物线 与 轴交于点 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
直线 解析式为：．
如图，过点 作 ，交 于点 ，
设点 ，则点 ，
，
的面积 ，
当 时， 的面积有最大值，
点 ．
(2) 点 的坐标为 或 或 ．
【解析】
(2) 设点 坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
点 是抛物线对称轴上的动点，
设点 坐标为 ，
当 为边时，则四边形 是平行四边形或四边形 是平行四边形，
若四边形 是平行四边形，
与 互相平分，
，，
，，
，
，
点 坐标为 ；
若四边形 是平行四边形，
与 互相平分，
，，
，，
，
，
点 坐标为 ；
当 为对角线时，
以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，
与 是互相平分，
，，
，，
，
，
点 坐标为 ．
综上所述：点 的坐标为 或 或 ．
【知识点】二次函数的图象与性质、平行四边形的判定、二次函数与方程
23. 【答案】
(1)
(2) 令 ，
，
．
(3) 如图，
(4) 该函数没有最大值
【解析】
(4) 或：该函数在 处断开；该函数没有最小值；该函数图象没有经过第四象限
【知识点】反比例函数的图象与性质、反比例函数的图象变换、二次函数的图象与性质
24. 【答案】
(1) 根据二次函数 ，对称轴 ，
系数 ，，，
又 点 ，对称轴是直线 ，
代入得：，，
则 ，，
函数解析式为 ．
顶点坐标为 ，
代入 ，， 得：顶点 ．
(2) 由平移知识知平移后解析式为：，
则与 正半轴交点为 ，代入函数式求得 ，即 ，
根据求得坐标作图，作 轴，
则 ，
，
代入数值解得：，即 的面积为 ．
(3) 作 平行于 交抛物线于点 ，由题意设 ，
，
，
由点 ，，得：，
，，
，解得： 或 ，
在对称轴右侧，
，
，
把 代入原函数表达式得：；
点坐标为 ．
【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象变换、基本定理、二次函数与方程、二次函数的顶点、y=ax^2+bx+c的图象
25. 【答案】
(1) 抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移 个单位长度得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为：，即 ，
抛物线 的解析式为：，即 ．
(2) 如下图，过点 作 轴于点 ，连接 ，
是等腰直角三角形，
，
又 ，
点 ，，， 四点共圆，
，
，
是等腰直角三角形，
．
点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上，
抛物线 的对称轴为 ，
设点 的坐标为 ，
，，
，
解得： 或 （舍去），
点 的坐标为 ；
同理，当点 、点 在 轴的下方时，
，
或 （舍去），
点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
(3) 直线 （， 为常数）与抛物线 交于 ， 两点，
，
设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
，
中点 的横坐标 ，
中点 的纵坐标 ，
点 的坐标为 ；
同理可得：点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
解得：
直线 的解析式为 ，
不论 取何值时（），当 时，，
直线 经过定点 ．
【知识点】二次函数的图象变换、判断四点共圆的方法、连线与坐标轴平行的两点间距离、一次函数的解析式、二次函数与方程、y=ax^2+bx+c的图象
26. 【答案】
(1) 根据有界函数的定义知，函数 不是有界函数，
是有界函数，
当 时，，
当 时，，
．
故 的边界值为 ．
(2) 函数 的图象是 随 的增大而减小，
当 时，，则 ，
当 时，，则
解得：．
(3) 若 ，函数向下平移 个单位后， 时，函数值小于 ，此时函数的边界 ，与题意不符，故 ．
当 时， 即过点 ，
当 时，，即过点 ，
都向下平移 个单位，则 ，，
或 ，
或 ．
【知识点】反比例函数图像上的点的坐标特征、k,b对一次函数图象及性质的影响、一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的图象变换
27. 【答案】
(1) 令 ，则 ，解得 ，，
在 的左侧，
，
令 ，则 ，即 ，
设直线 解析式为 ，把 ， 代入，
解得：
直线 解析式为：．
(2) 如图 ，过 作 轴交 于点 ，
，
当 取最大值时， 最大，
设 ，，
当 时， 取最大值，此时 ，
在抛物线 中，
对称轴为 ，
由平移知直线 为：，
，
设直线 与 轴的垂足为 ，连接 ，
在 中，，，，
，
，
作 关于直线 的对称点 ，连接 ，
与直线 ， 分别交于 ， 点，
则 是等边三角形，
，，
，，，
，
将 沿 方向平移 个单位得到 ，
将直线 绕点 顺时针旋转 得到直线 ，
过点 作 于点 ，与 的交点即为 点，
易知 和 都为等腰直角三角形，
，，
，
．
(3) 连接 ，则 为等边三角形，
，，
，，，
①如图 ，当四边形 为矩形时，
，
由题意知， 与直线 的夹角为 ，
，
，，
，
同理可求出 ，，．
综上所述：在直角坐标平面内存在一点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是矩形，坐标是 ，，，．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的解析式、旋转及其性质
28. 【答案】
(1) 方法一：
将 和 代入方程得：，
整理得：，
解得：．
(2) 方法一：
将 代入 ，得：，
将 代入二次函数 ，
得：，则 ，
故解析式为：．
(3) 方法一：
如图：
的取值范围为： 或 ．
【解析】
(1) 方法二：
在 和 时函数值相等，
代入得：，解得：．
(2) 方法二：
当 时，，
二次函数的图象与直线 的一个交点为 ，
把 代入 得：，，
二次函数的解析式是：．
(3) 方法二：
当 时，，
当 时，，解得：，
当 时，，解：，
，．
，，，，，
，，，
图象 为二次函数在 的部分，
从下端看最早相交的点为 与 相交，即 时，
从上端看， 与 相交，即 时；
由图象得：当图象 与平移后的线段有公共点时， 的取值范围是 或 ．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的解析式、二次函数与方程