【人教八上数学教学课件】14.3.1 提公因式法 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 提公因式法
随堂演练
获取新知
情境导入
例题讲解
课堂小结
情境导入
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

获取新知
知识点一：因式分解
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
定义：
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是方向相反的变形，即
例题讲解
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，
是整式乘法
每个因式必须是整式
知识点二：用提公因式法分解因式
pa+pb+pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
相同因式p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x
指数：相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
例题讲解
例2 下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)9 m 2n-6mn
(5)-6 x 2 y-8 xy 2
(6)4 (m+n) 2 +2(m+n)
确定公因式的“四看”
(1)看系数，即提取各项系数的最大公约数，首项系数含负号时，通常提取“－”号；
(2)看字母，即提取各项都含有的字母；
(3)看相同字母的指数，即提取各相同字母的最低次数；
(4)看整体，即提相同的多项式，有的多项式表面上看不同，但实质上相同或互为相反数．
归纳总结
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例3 把下列各式分解因式.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
例题讲解
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
提公因式法分解因式的注意点:
(1)当多项式的某项恰好是公因式本身时，提取该项之后应保留其系数1；
(2)提取公因式后，若另一因式化简后又有公因式，应再次提取；(3)可用单项式乘多项式的法则检验结果是否正确．
归纳总结
例题讲解
例3 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
随堂演练
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A．6a3b＝3a2·2ab
B．(x＋2)(x－2)＝x2－4
C．2x2＋4x－3＝2x(x＋2)－3
D．ax－ay＝a(x－y)
D
2．多项式x－1和多项式2(x－1)的公因式是(　　)
A．x－1 B．x＋1 C．x D．2(x－1)
3．已知mn＝1，m－n＝2，则m2n－mn2的值是　(　　)
A．－1 B．3 C．2 D．－2
A
C
4.因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
5.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ;
(2)20132+2013-20142;
(3)(-2)101+(-2)100.
解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；
(2) 原式=2013(2013+1)-20142
=2013×2014-20142=2014×(2013-2014)
=-2014．
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
课堂小结
1. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，即：
因式分解
整式乘法
几个整式相乘
一个多项式
提公因式法
确定公因式的方法：
三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
2.
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