【人教八上数学教学课件】14.3.2 第2课时 完全平方公式分解因式 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 第2课时 完全平方公式分解因式
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
知识回顾
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
获取新知
互动探究：用完全平方公式分解因式
这两个多项式有什么共同的特点？
观察多项式 与
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
例题讲解
例1 下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
前边我们学习了乘法公式：
根据乘法公式，你能将多项式 与多项式 分解因式吗？
　　 把整式的乘法公式——完全平方公式
反过来就得到因式分解的完全平方公式：
例题讲解
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3 ,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x
+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2
a
b
+b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
针对训练
分解因式：
（1）x2 +12x + 36； (2)－2xy － x2 －y2 ；
（3）a2 +2a +1 ； (4) 4x2 －4x+1.
(1) (x ＋6); (2) － (x ＋ y )2；
(3) (a ＋1)2； (4) (2x －1 )2；
解：
能用完全平方公式分解因式的多项式具有的特点
(1)多项式为三项式；
(2)其中有两项是平方式，且这两个平方项的符号相同；
(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
归纳总结
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62=(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
分解因式：
(1)3x3－6x2y＋3xy2；
(2)18a2(a＋2b)＋12ab(a＋2b)＋2b2(a＋2b)；
(3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4.
针对训练
[解析]第(3)小题中的x2－4利用平方差公式可转化为(x＋2)(x－2)，这时多项式有公因式(x＋2)，因此再利用提公因式法便可进行因式分解．
(1)3x3－6x2y＋3xy2；
解:＝3x(x2－2xy＋y2)
＝3x(x－y)2.
(2)18a2(a＋2b)＋12ab(a＋2b)＋2b2(a＋2b)；
解:＝2(a＋2b)(9a2＋6ab＋b2)
＝2(a＋2b)(3a＋b)2.
(3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4.
解:＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)
＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)]
＝(x＋2)(2x＋2)
＝2(x＋2)(x＋1)．
【归纳总结】因式分解的步骤:
一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三查：检查每个因式是否被分解彻底．
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算。
=1.
＝2500.
例题讲解
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
随堂演练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为__________ ．
±4
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b － 1)2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
6.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
课堂小结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
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