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第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 1．了解两个计数原理的特征．
2．理解两个计数原理的概念和区别．
3．掌握两个计数原理的应用．
4．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．
必备知识 探新知
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有______________种不同方法．
N＝m＋n
知识点1
思考1：(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？
(2)各种方案之间有何关系？每一类方案中各种方法之间有何关系？
提示：(1)能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事．
(2)各种方案之间相互独立，并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立．
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．
思考2：(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？
(2)根据定义完成一件事的方法数怎样计算？
提示：(1)不能，每一步中的每一种方法都不能独立完成这件事．
(2)从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数．
m×n
知识点2
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
知识点3
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
本质 每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
各类 (步)的 关系 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”
思考3：分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？
提示：分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 分类加法计数原理
在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少？
[分析] 根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得出结论．
[解析] 方法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36．
典例 1
方法二：按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36．
方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．
所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11, 22,33，…，99，共9个．个位数字与十位数字不能调换位置的两位数为10,20,30，…，90，共9个．剩余的72个两位数中，将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个位数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字(b)大于十位数字(a)的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36．
[规律方法] 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：
(1)明确题目中所指的“完成一件事” 指的是什么事，怎样才算是完成这件事．
(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．
(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同类中的方法不能相同，即不重复，无遗漏．
【对点训练】 (1)某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有 ( )
A．20种 B．15种
C．10种 D．4种
(2)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有______种．
B
56
[解析] (1)若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠选方法共有4＋4＋6＋1＝15(种)．
(2)完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．
题型二 分步乘法计数原理
由数字0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
[分析] (1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0；(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为0．
典例 2
[解析] (1)分三步完成．
第一步：排百位，1,2,3三个数字都可以，有3种不同的方法；
第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有3种不同的方法；
第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有2种不同的方法．
故可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝18(个)．
(2)分三步完成．
第一步：排百位，1,2,3这三个数字都可以，有3种不同的方法；
第二步：排十位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法；
第三步：排个位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法．
故可组成可以有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)．
[规律方法] 利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．
(2)计数：逐一求出每一步中的方法数．
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
【对点训练】 (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 ( )
A．56 B．65
C．30 D．11
(2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121, 3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个101,111,121，…，191,202，…，999．则5位回文数有_______个．
A
900
[解析] (1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．
(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有10种选法，故5位回文数有9×10× 10＝900，故答案为900．
题型三 两个计数原理的综合应用
现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
[分析] 要分清是“分类”还是“分步”．
(1)是分类；(2)是分步；(3)是先分类后分步．
典例 3
[解析] (1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．
(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法．
(3)①高一和高二各选 1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法；
②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；
③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．
[规律方法] 利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
【对点训练】 将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有______种．
[解析] 分别用a，b，c代表3种农作物，将试验田从左到右依次编号为①②③④⑤．
先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a．
再种②号田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b．
42
若③号田种植c，则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同的种植方法共有2×2＝4(种)．
若③号田种植a，则④号田可种植上b或c．
(1)若④号田种植c，则⑤号田有2种种植方法；
(2)若④号田种植b，则⑤号田只能种植c，有1种种植方法．
综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(种)．
易错警示
分步标准不清致错
甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有______种．
64
典例 4
[错解] 分四步完成这件事．
第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，却各自有4种不同情况．
由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种)．
[辨析] 用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．
[正解] 由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．
第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；
第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；
第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况．
由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 ＝64(种)．
课堂检测 固双基
1．(2021·山东省烟台市期末)自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、外语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为 ( )
A．6 B．7
C．8 D．9
D
[解析] 分两步，第一步，从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选法，第二步，从政治、历史、地理3科中任选1科，有3种选法．根据分步乘法计数原理可得不同选法共有3×3＝9(种)．
2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P Q．把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 ( )
A．9 B．14
C．15 D．21
[解析] 因为P Q，所以分两类．当x＝2时，y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以点的个数为7；当x≠2时，x＝y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以点的个数为7．则满足题意的点共有14个．
B
3．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 ( )
A．24种 B．4种
C．43种 D．34种
[解析] 第1封信投到信箱中有4种投法；
第2封信投到信箱中也有4种投法；
第3封信投到信箱中也有4种投法．
只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理可得共有43种投法．
C
4．(四川高考题)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有 ( )
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
[解析] 根据题意，需分两类解决：
第一类，万位填4时，比40 000大的偶数有2×4×3×2＝48(个)；
第二类，万位填5时，比40 000大的偶数有3×4×3×2＝72(个)．
根据分类加法计数原理，可知比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．
B
5．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有_____种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有______种．
[解析] 根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9种；由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20种．
9
20
素养作业 提技能第六章 6.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( C )
A．182 B．14
C．48 D．91
[解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C．
2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有( A )
A．4种 B．5种
C．6种 D．7种
[解析] 分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．
3．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为( C )
A．24种 B．48种
C．72种 D．96种
[解析] 解法一：分两种情况：
(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种．
(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，B，D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种．
由分类加法计数原理知，共有72种，故选C．
解法二：先涂A，有4种涂法，再涂B，D，①若B与D同色，则B有3种，E有2种，C有2种，共有4×3×2×2＝48种；
②若B与D不同色，则B有3种，D有2种，E有1种，C有1种，共有4×3×2×1×1＝24种，
由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种．
4．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有( B )
A．8种 B．10种
C．12种 D．16种
[解析] 首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．
综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．
5．(多选题)下列说法正确的是( ABD )
A．“将2封信随意投入4个邮箱，求不同投法有多少种”是一个分步乘法计数问题
B．“在1,2，…，200中，求能够被5整除的数的个数”是一个分类加法计数问题
C．某一数学问题有两种解法，有4名同学只会第一种解法，有3名同学只会第二种解法，从这些同学中任选1人解答这个问题，不同的选法有12种
D．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有36个
[解析] 对于选项A,2封信需分2步随意投入4个邮箱，只有当2步都完成才算完成，是一个分步乘法计数问题，故A正确；对于选项B，能够被5整除的数可分成末位数字是0和5两类，是一个分类加法计数问题，故B正确；对于选项C，由分类加法计数原理，共有4＋3＝7种选法，故C错误；对于选项D，∵a，b互不相等且a＋bi为虚数，∴b只能从{1,2,3,4,5,6}中选一个，有6种选法，a从剩余的6个中选一个，也有6种选法，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36个，故D正确．故选ABD．
二、填空题
6．(2021·合肥一中月考)有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有__8__种．
[解析] 要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1＝4(种)选派方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选设方法．根据分类加法计数原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．
7．(2020·辽宁大连高三二模)甲、乙等5个志愿者被分配到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有__72__种．
[解析] 由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四个岗位中选一个，有4种选择；乙在剩下的3个岗位中选一个，有3种选择．丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个岗位，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种选择，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即有8－2＝6种选择，∴所求方法数为4×3×6＝72．
8．(2021·海南中学高二期中)由0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成__420__个无重复数字的四位偶数．
[解析] 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个数字不重复．因此应先分类，再分步．
第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，取法有3×4×5×4＝240(种)．
第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除千位数字外任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，取法有3×3×5×4＝180(种)．
根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数有240＋180＝420(个)．
三、解答题
9．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？
[解析] 圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．
10．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
[解析] (1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；
第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．
(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2021·河北邢台第八中学高二期末)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )
A．243 B．252
C．261 D．279
[解析] 由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10＝900，组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，因此组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252．
2．(2021·湖北荆州高二期中)大学生小王和小张即将参加实习，他们分别从荆州市荆州中学，荆门市龙泉中学、钟祥一中，襄阳市第四中学、第五中学，宜昌市第一中学、夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学校，假设他们选择哪所学校是等可能的，则他们在同一个市参加实习的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知，两人从七所学校中随机选择一所参加实习，共有7×7＝49种选法，他们在同一个市参加实习共有1×1＋2×2＋2×2＋2×2＝13种选法，所以他们在同一个市参加实习的概率为，故选C．
3．(2021·四川成都七中高三开学考试)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用5种颜色给A，B，C，D，E五个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则A，C区域涂色不相同的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 分4步进行分析：
第1步，对于A区域有5种颜色可选；
第2步，因为B区域与A区域相邻，所以有4种颜色可选；
第3步，对于E区域，因为与A，B区域相邻，所以有3种颜色可选；
第4步，对于D，C区城，若D与B颜色相同，则C区域有3种颜色可选；
若D与B颜色不相同，D区城有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D，C共有3＋2×2＝7种选择．
综上，不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A，C区域涂色不相同的情况有5×4×3×2×2＝240种．
所以A，C区域涂色不相同的概率为P＝＝．
4．(多选)(2021·北京第六十六中学高二上期中)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( BD )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节
[解析] 由于生物在B层，只有第2,3 节有，故分两类：
若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；
若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
二、填空题
5．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法__242__种．
[解析] 取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；
取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；
取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．
综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．
6．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，向量a＝(m，n)和向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是____．
[解析] cos θ＝＝，
∵θ∈，
∴∴
∴m>n，则m＝2时，n＝1；m＝3时，n＝1,2；m＝4时，n＝1,2,3；m＝5时，n＝1,2,3,4；m＝6时，n＝1,2,3,4,5．
则这样的向量a共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，
而第一次投掷骰子得到的点数m有6种情形，同样n也有6种情形，∴不同的向量a＝(m，n)，共有6×6＝36个，因此所求概率P＝＝．
7．(2021·辽宁沈阳高三期末)中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为__16__．
[解析] 根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,3；3,7；7,7．
数字组合1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；
数字组合3,3；7,7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数．
综上，共可以表示14＋2＝16个两位数．
三、解答题
8.4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法？
[解析] 将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有3种不同的方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有一种方法，由分步乘法计数原理可得不同的分配方法为3×3＝9种．
9．如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
A B
C D E
[解析] 先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：
①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48(种)；
②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48(种)；综上所述，共有96种种植方法．
