第六章 6.2 6.2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选题)从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素，下列问题属于排列问题的是( BD )
A．相加可得多少个不同的和
B．相除可得多少个不同的商
C．作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程
D．作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
[解析] 对选项A，由加法交换律可知相加求和不是排列问题，故A错误；对选项B，由于除法不满足交换律，可知两数相除求商是排列问题，故B正确；对选项C，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，即a，b的大小确定，不是排列问题，故C错误；对选项D，在双曲线－＝1中不管a>b还是a2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)(m∈N*)可表示为( A )
A．A B．A
C．A D．A
[解析] 因为最大数为m＋20，共有21个自然数连续相乘，根据排列公式可得m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)＝A．
3．已知3A＝4A，则n等于( B )
A．5 B．7
C．10 D．14
[解析] 由×3＝×4，
得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍)．
4．(2021·福州期末)设x∈N*，且x>15，则(x－2)(x－3)(x－4)…(x－15)可化简为( B )
A．A B．A
C．A D．A
[解析] 先确定最大数，即n，再确定因式的个数，即m，易知n＝x－2，m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14，所以原式＝A．
5.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为( A )
A．AA B．AA
C．AA D．A－4A
[解析] 首先5名成人先排队，共有A种排法，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有A种排法，根据乘法原理，共有AA种排法．
二、填空题
6．一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有__720__种排法．
[解析] 这是6个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．
7．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为__20__．
[解析] 先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有A＝20种．
8．(2021·六安高二检测)计算：＝____．
[解析] ＝＝．
三、解答题
9．下列问题中哪些是排列问题？
(1)5名学生中抽2名学生开会；
(2)5名学生中选2名做正、副组长；
(3)6位同学互通一次电话；
(4)6位同学互通一封信；
(5)以圆上的10个点为端点作弦；
(6)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．
[解析] (2)(4)(6)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．
10．证明：A＋kA＝A．
[解析] 证明：左边＝＋k
＝
＝＝，
右边＝A＝，所以A＋kA＝A．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2021·烟台高二检测)2 021×2 020×2 019×2 018×…×1 982×1 981等于( D )
A．A B．A
C．A D．A
[解析] 根据题意，2 021×2 020×2 019×2 018×2 017×…×1 981×1 981＝A．
2．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( C )
A．8 B．5
C．3 D．0
[解析] 由排列数公式知，A，A，…，A中均含有2和5的因子，故个位数均为0，所以S的个位数字应是A＋A＋A＋A的个位数字，而A＋A＋A＋A＝1＋2×1＋3×2×1＋4×3×2×1＝33，故个位数字为3．
3．(多选题)下列四个等式中正确的有( ABD )
A．n！＝ B．A＝nA
C．A＝ D．A＋mA＝A
[解析] ＝＝n！，所以A正确；
nA＝＝＝A，所以B正确；
A＝＝，所以C不正确；
由排列数公式可知
A＋mA＝＋m＝×
＝×＝＝A，所以D正确．
4．(2021·安徽省淮南九中月考)要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长，但甲不能当副组长，则不同的选法种数是( B )
A．20 B．16
C．10 D．6
[解析] 不考虑限制条件有A种选法，若甲当副组长，有A种选法，故甲不当副组长的选法有A－A＝16(种)．
二、填空题
5．满足不等式>12的n的最小值为__10__．
[解析] 由排列数公式得>12，
即(n－5)(n－6)>12，
解得n>9或n<2．
又n≥7，所以n>9，
又n∈N*，所以n的最小值为10．
6．已知＝89，则n的值为__15__．
[解析] 根据题意，＝89，则＝90，变形可得A＝90A，
则有＝90×，
变形可得：(n－5)(n－6)＝90，
解可得：n＝15或n＝－4(舍)；
故n＝15．
7．(2021·江西省南昌市期末)由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为__10__．
[解析] 个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A＝6(个)；个位数字为2时，符合要求的四位偶数有AA＝4(个)．
故由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为6＋4＝10．
三、解答题
8.8个人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？
(3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？
[解析] (1)由排列的定义知共有A种不同的排法．
(2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A．也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知共有A×A＝A种排法．
(3)同(2)的分析可知，共有A×A＝A(种)．
9．求证：A＋mA＋m(m－1)A＝A(n，m∈N*，n≥m>2)．
[解析] 因为左边＝＋m＋m(m－1)
＝
＝
＝＝＝A．(共35张PPT)
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排 列
6.2.2 排 列 数
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点) 1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养．
2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养．
必备知识 探新知
排列的概念
(1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照______________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)特别地，__________时的排列(即________________的排列)称为全排列．
思考1：两个排列相同的条件是什么？
提示：两个排列相同则应具备排列的元素及排列的顺序均相同．
一定的顺序
知识点1
m＝n
取出所有元素
排列数及排列数公式
知识点2
所有排列
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n·(n－1)·(n－2)·…·2·1
n！
1
1
思考2：排列与排列数的区别是什么？
提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 排列的概念
下列问题是排列问题吗？说明你的理由．
(1)从1,2,3三个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,5四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
典例 1
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人，又有多少种方法？
(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(5)某班40名学生在假期相互通信．
[分析] 判断是不是排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
[解析] (1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)是；(5)是．
理由是：(1)(2)中由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．(3)中选座位与顺序无关，“入座”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(5)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
[规律方法] 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
【对点训练】 判断下列问题是不是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
[解析] (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
题型二 排列数的计算公式
[分析] (1)直接用排列数公式计算；(2)(3)用排列数公式的定义解答即可．
典例 2
[规律方法] 排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
18
36
题型三 排列与排列数公式的简单应用
(1)有7 本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
[分析] (1)从7本不同的书中选出3本送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从7种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
典例 3
[规律方法] (1)没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
(2)典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；排列指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，由排列的概念可知排列问题中元素不能重复选取．
【对点训练】 小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排，若小一不出现在首位和末位，小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻，求能满足条件的不同排法共有多少种？
易错警示
典例 4
课堂检测 固双基
B
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 ( )
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
[解析] 这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故C正确．
C
3．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两数做加法和乘法时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两个数字的位置有关，故是排列问题．
B
C
5．(一题两空)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成______个以b为首的不同排列，它们分别是___________________ ______________________________________________________．
[解析] 画出树状图如下：
可知共12个，它们分别为bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed．
12
bac，bad，bae，
bca， bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
素养作业 提技能
