(共39张PPT)
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.3 组 合
6.2.4 组合数
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．理解组合与组合数的概念． 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明． 1．通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养．
2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养．
必备知识 探新知
组合的定义
从n个不同元素中取出m(n≥m)个元素并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考1：组合概念中的两个要点是什么？
提示：(1)取出的元素是不同的．
(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质．
知识点1
组合数的概念、公式、性质
知识点2
不同组合
思考2：组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 组合的概念
下列问题不是组合问题的是 ( )
A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？
B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
典例 1
D
[分析] 区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．
[解析] 组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D．
[规律方法] 判断一个问题是否为组合问题的方法
区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【对点训练】 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
[解析] 解法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的顺序写出，即
∴所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．
解法二：画出树形图，如图所示．
∴所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．
题型二 组合数公式的应用
[分析] 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．
典例 2
D
题型三 组合数性质的应用
[分析] 恰当选择组合数的性质进行求值、证明与解不等式．
典例 3
C
2或4
易错警示
混淆“排列”与“组合”的概念致错
某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__________种(用数字作答)．
2 520
典例 4
[辨析] 计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆．若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数．
课堂检测 固双基
C
A
C
C
n＝3,4,5,6,7
素养作业 提技能第六章 6.2 6.2.3 、4
请同学们认真完成练案[4]
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选题)下列问题是组合问题的是( AD )
A．从1,3,5,7,9中任取两个数相乘
B．从1,3,5,7,9中任取两个数相除
C．从甲、乙、丙三人中选两人分别参加两项不同活动
D．从甲、乙、丙三人中选两人参加同一项活动
[解析] 由乘法交换律可知，选项A正确；由除法不满足交换律可知，任取两个数相除是个排列问题，故选项B错误；对于C，由于两项活动不同，是个排列问题，故选项C错误；对于D，由于两人参加的是同一项活动，是组合问题，故选项D正确，故选AD．
2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( D )
A．M∪Q＝｛0,1,2,3,4｝ B．Q M
C．M Q D．M∩Q＝{1,4}
[解析] 由C知n＝0,1,2,3,4，因为C＝1，C＝4，C＝＝6，C＝C＝4，C＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝｛1,4｝．
3．方程Cx2－x16＝C的解集为( A )
A．{1,3} B．{3,5}
C．(1,3) D．{1,3,5，－7}
[解析] 因为Cx2－x16＝C，
所以x2－x＝5x－5 ①，
或(x2－x)＋(5x－5)＝16 ②，
解①可得x＝1或x＝5(舍去)，解②可得x＝3或x＝
－7(舍)，所以该方程的解集是｛1,3｝．
4．若C－C＝C，则n等于( C )
A．12 B．13
C．14 D．15
[解析] 因为C－C＝C，即C＝C＋C＝C，所以n＋1＝7＋8，即n＝14．
5．若n∈N＋，且n<20，则(27－n)(28－n)…(34－n)等于( D )
A．A B．A
C．A D．A
[解析] 由排列数公式知，原式＝A，故选D．
二、填空题
6．若C＋C＋C＋…＋C＝363，则正整数n＝__13__．
[解析] 由C＋C＋C＋…＋C＝363，
得1＋C＋C＋C＋…＋C＝364，
即C＋C＋C＋C＋…＋C＝364．
又C＋C＝C，则C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C，所以C＝364，
化简可得＝364，
又n是正整数，解得n＝13．
7．计算：C＋C＋…＋C＝__220__．(用数字作答)
[解析] C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝220．
8．已知5C＝(n＋7)C＋3A，则n＝__2__．
[解析] ∵5C＝(n＋7)C＋3A，
∴5×＝(n＋7)×
＋3×(n＋3)(n＋2)，
∴5×＝(n＋7)×＋3×(n＋3)(n＋2)，
∴＝＋3，∴n∈N*，解得n＝2．
三、解答题
9．解不等式C>C＋2C＋C．
[解析] 因为C＝C，所以原不等式可化为C>(C＋C)＋(C＋C)，
即C>C＋C，也就是C>C，
所以>，
即(n－3)(n－4)>20，
解得n>8或n<－1．
又n∈N*，n≥5．
所以n≥9且n∈N*．
10．(1)解方程：C＝C；
(2)求值C＋C．
[解析] (1)由题意知
或
解得x＝4或6．
(2)由组合数的定义知所以7≤r≤9．又r∈N*，所以r＝7,8,9，
当r＝7时，原式＝C＋C＝46；
当r＝8时，原式＝C＋C＝20；
当r＝9时，原式＝C＋C＝46．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(C＋C)÷A的值为( C )
A．6 B．101
C． D．
[解析] (C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝÷A＝＝．
2．若C－C＝C(n∈N*)，则n等于( B )
A．11 B．12
C．13 D．14
[解析] 根据题意，C－C＝C变形可得，C＝C＋C；
由组合数的性质可得，C＋C＝C，
即C＝C，
则可得到n＋1＝6＋7 n＝12．
3．(多选题)C＋C等于( BD )
A．C B．C
C．C D．C
[解析] 由组合数的性质得：C＋C＝C＝C．
4．(多选)若1A．C B．C
C．C D．C
[解析] C＝，
A中，C＝
＝，
B中，C＝＝，
C中，C＝
＝，
D中，C＝
＝，故不相等．
二、填空题
5．若C＝C，则C＝__190__．
[解析] 由C＝C可知n＝20．
∴C＝C＝＝190．
6．C＋C＝__466__．
[解析] 依题意得即
解得≤n≤，又n∈N*，所以n＝10．
故C＋C＝C＋C＝C＋C＝466．
7．已知C＝C＋C＋C，则x＝__3或4__．
[解析] 因为C＝C＋C＋C，
所以C＝C＋C，
所以C－C＝C，
所以C＝C，
所以x＝2x－3，或x＋2x－3＝9，
解得x＝3，或x＝4．
三、解答题
8．求20C＝4(n＋4)C＋15A中n的值．
[解析] 原方程可化为20×
＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)，
即
＝＋15(n＋3)(n＋2)，
所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，
即5(n＋4)(n＋1)＝90，
所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7．
注意到n≥1且n∈N*，所以n＝2．
9．证明：
(1)C＝C＝C；
(2)m！＋＋＋…＋＝m！C．
[解析] (1)C＝·＝＝C，C
＝·＝＝C，
故C＝C＝C．
(2)左边
＝m！
＝m！(1＋C＋C＋…＋C)
＝m！(C＋C＋C＋…＋C)①
＝m！(C＋C＋…＋C)②
＝…
＝m！C
＝右边，
故等式成立．
